இயல் எண்கள் P என்னும் இயற்கை முழு எள் K (1)-ல் உள்ள ஒரு பிரதம எண்ணாக இருக்கட்டும். அதனுடன் அது 4m+3 என்னும் உருவில் இல்லாதிருந்தால் (அதாவது அது 2, 5, 13, 17, 29, 27, +1, 53....... என்ப வை களாக இருந்தால்), அப்பொழுது K (ij-ல் Pயைக் காரணிகளாகப் பிரிப்பதற்கு முக்கியமாய் ஒரே வழி தான் உண்டு என்று தெரிகிறது. P என்பது a- + 1" என்னும் உருவில் இருக்கும். உதாரணமாக : ?=1 +1"; 5=1= +2; 13=2' + 3"; 17=1- +4-; 29=2' +5"; 37=1" +6";........... என்பவையும் அவை போன்ற ஏனைய எண்களும். எனவே, P=a" +1- என்றால், அதை நாம். P= (a+ib) (a-ib) என்றும் எழுதலாம். P என்பது K (1)-ல் உள்ள ஒரு பிரதம எண்ணாக இருந்து, P=a" +b" என்றால், அப்பொழுது (a +ib) (a-ib) என்பவை எல்லாம் K (i)-ல் உள்ள பிரதம எண்கள் என்று தெரிகிறது. இவைகளைத் தவிர, ஏற்கெனவே விளக்கியிருப்பது போல், K (1) ல் அடங்கியுள்ளவையும், 4m + : என்னும் உருவில் உள்ள இயற்கை முழு எண்களு மான பிரதம என்களெல்லாம் K (i)-ல் உள்ள பிரதம எண்களாக இருக்கும். இவைகளையும் இவைகளுக்கு ஒத்தவைகளான எண்களையுந்தவிர வேறு பிரதம எண்க ள் K (i)-ல் இல்லை . இப்பொழுது ஓர் ஐயம் இயற்கையாகவே எழு கிறது. K (i)-ல் உள்ள முழு எண்களை K (i) இன் பிரதம எண்களின் பெருக்கி வரும் விடையாக முக்கிய மாக ஒரே விதத்தில் தான் (Essentially one way) கொடுக்க முடியுமா என்பதே அது. அதாவது, மேற் கூறிய ஒரே முறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் என்பது K (i)க்கும் பொருந்துமா? இதற்கு விடை பொருந்தும் என்பது தான். இவ்வுண்மை , K (1), K (i), K ( 2), K (1-2)......... முதலியவை சிலவற்றுக்குப் பொருந் தும். ஆனால் இவ்வுண்மை பொருந்தாத சில எண் களங்களும் உண்டு. இப்படியிருப்பது முக்கியமான தும் சுவை மிக்கதுமான ஓர் உண்மை . இந்த ஒரே முறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் (KV-5) என்பதற் குப் பொருந்தவில்லை. உதாரணம் : 21=3X7=[1+2 V-5) (1-2 V-5). இதி லுள்ள 3, 7, 1+2 M-5, 1-2 -5 என்னும் நான்கும் K (V- 5)-ல் உள்ள பிரதம எண்கள் என் பதையும், அவை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவையாக இருக்கவில்லை என்பதையும் நிரூபிக்கலாம். எனவே, K (V-5) என்பதில் உள்ள 21 என்னும் முழு எண்ணை முக்கியமாய் இரண்டு வழிகளில் காரணிக ளாகப் பிரிக்கலாம் என்று ஆகிறது; அதாவது, ஏற் கெனவே காட்டியதுபோல், 3X7 என்றும், (1+2 V-5) (1-2V-5) என்றும். ஆகையால் ஒரே முறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் K (V-5) என்பதற் குப் பொருந்தவில்லை என்று தெரிகிறது. 19. முடிவில் ஒரு மிகக் கடினமான-ஆனால் இயற் கையான கேள்வி பிறக்கிறது. இயல் எண்கள் அல் லாத வேறுவிதமான சாதாரண எண்களும் உண்டா என்பதுதான் அது. இக்கட்டுரையில் ஆரம்பத்தில் குறித்த ஒரு முக்கியமான கேள்விக்கு (அதாவது, பகு எண்கள் அல்லாத வேறு சில சாதாரண எண்களும் உண்டோ என்ற கேள்விக்குச்) சமமானது இது. முத லில் எழுந்த அக்கேள்விக்கு x2 = 2=) என்பதைப் போன்ற சமன்பாடு ஒன்றை ஆராய்ந்ததிலிருந்து விடை
________________
இயல்பூக்கம் கண்டுபிடிக்க இயன்றது. அவ்வத சமன்பாட்டை ஆராய்ந்ததின் பயனாக அச் சமன்பாட்டிற்குச் சாதா ரண எண்களிடையே ஒரு மூலம் உண்டு என்றும், ஆனால் எந்தப் பகு எண்ணும் அத்தகைய மூலமாக இருக் காது என்றும் கண்டு, அதிலிருந்து பகு எண்களைத் தவிர வேறு சில எண்களும் இருக்கின்றன என்னும் முடிவுக்கு வந்தோம். இப்பொழுது எழுந்திருக்கும் கேள்விக்கு விடைகண்டுபிடிக்க மேற்குறித்த முறை பயையே கையாள வேண்டுமானால், xn+a| x-1 + cl., xn-2........ +dn=0 (இங்கு (ly , l, ay.... (In என்ப வை இயல் எண்க ள்) என்னும் ஒரு சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டு, அதற்கும் சாதாரண எண்களிடையே ஒரு மூலம் உண்டு என்றும், ஆனால் எந்த இயல் எண்ணும் அத்தகைய சமன்பாட்டு மூலமாக இருக்காது என்றும் காட்டி வீட் டால், நாம் தேடும் விடை கிடைத்துவிடும். ஆனால், மேலெழுந்த வாரியாகப் பார்க்கையில் சாத்தியம் என்று தோன்றுவதும், முன்பு பிறந்த கேள்விக்கு விடையை அளித்ததுமான இம்முறை இப்பொழுது பயனற்றதாக இருக்கிறது. ஏனெனில், நாம் இப்பொழுது எடுத்துக் கொண்டிருக்கும் சமன்பாட்டிற்கு உள்ள மூலங்கள் எல்லாம் இயல் எண்களே என்பதை நாம் ஏற்கெனவே கண்டிருக்கிறோம் (அதாவது, இயற்பிணைகளுக்கு இயல் எண்கள் போதுமானவையாயிருக்கின் றன என்னும் உண்மையிலிருந்து). லியோவீல் (Liouville) என் னும் பிரெஞ்சுக் கணித நிபுணர் இப்பிரசித்தமான கேள்விக்கு விடை கண்டுபிடித்தார். அவர், ) என்பது n அடுக்குக்கள் உள்ள ஓர் இயல் எண்ணாக இருந்து, C1 . 2. 1 ................என்ப வை ) க்கு தோராயங் d,' d' d,' ' களின் வரிசையாயிருந்தால், அப்பொழுது, d(0- ) (n =1, 2, 3...) என்பன மாறாம லிருக்கும் ஏதாவது ஒரு தன எண்ணைவிடக் குறைந்த மதிப்பு உடையதாய் இராது என்று நிரூபித்தார். (தன எண் என்பது சுன்னத்திற்கு மேற்பட்ட எண்). மேலேயுள்ளதைப் பயன்படுத்தி, 0=1 - 2! +is 3! +...+Han!+...என்றிருக்கும்போது 0 என்பது இயல் எண்ணல்ல அதாவது இயல் 'எண் ணல்லாத எண்கள் உண்டு என்று லியோவில் காண்பித் தார். (குறிப்பு: n!=1. 2. 3....in அதாவது முதல் n முழு எண்களின் பெருக்குத் தொகை). இயல் எண்களின் தன்மைகள் என்னும் கணிதவியற் பகுதியில் முக்கியமானவையும், புகழ்பெற்றவையும், நிரூபிக்கப்படாமல் இருப்பவையுமான பிரச்சினைகள் பல உண்டு. அவை பல்லாண்டுகட்குக் கணித நிபுணர் களின் ஆராய்ச்சிக்கு இலக்காகும் இயல்பூக்கம் (Instinct) : மீன் நீந்துதல் சிலந்தி வலை பின்னுதல், தேனீ மதுவைச் சேகரித்தல், குருவி கூடு கட்டுதல் மயில் தோகையை விரித் தாடுதல், பூனை எலிபிடித்தல், குழந்தை மார்புண் ணுதல் இவை போன்றவை இயல் பூக்கச் செயல்க ளாகும். ஆனால் இயல்பூக்கம் யாதென்று திட்டமாக இலக்கணங் கூறுவது அவ்வளவு எளிதன்று. இயல் பூக்கங்களின் தன்மை பற்றியும் எண்ணிக்கை பற்றியும் உள நூல் புலவர்களுள் கருத்து வேறுபாடுக ளுண்டு. சிலர் இயல்பூக்கம் என்பதே கிடையாது என்று சொல்லுவர். சிலர் இயல்பூக்கம் என்னும் சொல்லையே விட்டு விட்டனர்.
