பக்கம்:Tamil-Encyclopedia-kalaikkaḷañciyam-Volume-2-Page-1-99.pdf/9

விக்கிமூலம் இலிருந்து
இப்பக்கம் மெய்ப்பு பார்க்கப்படவில்லை

g இயல் எண்கள் 0. என்பவை இரண்டும் இயல் முழு எண்களாக இருந்தால். அப்பொழுது () என்பது ஒர் அலகு எண் ளுகவிருக்கும். மேலும், () என்பது அலகு எண்ணுக இருந்தால், l a -l a 1. a + 0. 0' ()*, ()*' ()”, 0” ()", () no “” என்பவை எல்லாம் அலகு எண்களாகவே இருக்கும். இரண்டு அலகு எண்களைப் பெருக்கிவரும் விடையும் ஓர் அலகு எண்ணுக இருக்கும். 1, -1 , 12+1 எல்லாம் அலகு எண்களே, இவைகளுள் 1 + என்பது x + 2x-1 = 0 என் னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருத்தலாலும், இவை இரண்டும் (அதாவது 2 + 1 - 1 எ ன் ப ைவ | \ 2 + l அலகு எண்கள் ஆகின்றன. 2 என்னும் எண் ஒர் அலகு எண் அல்ல; ஏனெனில் 2 என்பது இயல் முழு எண்ணுக இருந்தபோதிலும், 12 என்பது கவுஸ் என்பவர் நிரூபித்தபடி இயல் முழு எண்ணுக இல்லை. 13. of 635 als lutt (Ring of numbers) : a, b என்னும் இரண்டு இயல் முழு எண்களிலிருந்து கூட் டல், கழித்தல், பெருக்கல் என்பனவற்ருல் வரும் a + b, a-b, ah என்னும் எண்களும் இயல் முழு எண்களே என்று நிரூபிக்கலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்களின் தொகுதியில் உள்ள x, y என்னும் எண்கள் எந்த இரண்டு எண்களாக இருந்தாலும், x + y, x, y, xy என்னும் எண்களும் அத்தொகுதியில் அடங்கியிருந் தால், அத் தொகுதிக்கு எண் வலயம் என்று பெயர். உதாரணமாக, அ டி யி ற் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரட்டைப்படை முழு எண்களின் தொகுதி ஓர் எண் வலயம் : 0, 2, -2, 4, -4, 6, -6, 8, -8,... . . . . . . என்பவை. இயல் முழு எண்களின் தொகுதியும் ஒர் எண் வலயமே. 14. ஒடுக்கொணுப் பல்லுறுப்பி : வரையறைக்குட் u. – 69G Roo Q+Gye Gar (Restricted co-efficients)அடங்கியுள்ள பல்லுறுப்பிகளே எடுத்துக்கொள் ளுவோம். உதாரணமாக, கெழுக்கள் எல்லாம் பகு எண் களாகவே இருக்கும் பல்லுறுப்பிகளே எடுத்துக் கொள்ளுவோம். இவைகளுக்குப் பகுபல்லுறுப்பிகள் (Rational polynomials) cror.0 Quutfit—arth. P (x) என்பது ஒரு பகு பல்லுறுப்பியாக இருக்கட்டும். அது வேறு இரண்டு பகு பல்லுறுப்பிகளே ஒன்ருே டொன்று பெருக்கி வரும் விடையாக இராது என்றும் வைத்துக்கொள்ளுவோம். இங்கு அந்த இரண்டு பகு பல்லுறுப்பி ஒவ்வொன்றிலும் x-ன் அடுக்கு 1க்குக் குறையாத மதிப்புள்ளதாக (அதாவது x-ன் அடுக்குச் சுன்னமாக இல்லையென்று) வைத்துக் கொள்ளவேண் டும்.அப்பொழுது, P (x) என்னும் பல்லுறுப்பியை ஒடுக் Qnrgot lug, ludo sy Din" (Irreducible rational polynomial) என்று சொல்லுகிருேம். இதையே சுருக்கமாக ஒடுக் கொணுப் பல்லுறுப்பி என்றும் இக் கட்டுரையில் குறிக்கிருேம். உதாரணமாக x2 - 2 என்பது ஒர் ஒடுக்கொணுப் பல்லுறுப்பி. ஆனல் x -1 என்பது ஒடுக்கொணுப் பல்லுறுப்பி அன்று. ஏனெனில், x’-2= (x-x) (x + N ) ; இதில் - என்பது ஒரு பகு எண் இல்லை. ஆதலால், (x - ), (x + N ) என்பவைகளின் கெழுக்கள் பகு எண்களாக இருக்க வில்லை. இதைப் போலல்லாமல், x -1 என்பது


இயல் எண்கள் (x + 1 (x - 1) என்பதற்குச் சமமாக இருக்கிறது : (x + 1), (x -1) என்பவைகளில் உள்ள கெழுக்கள் பகு எண்களாக இருக்கின்றன. 1க்குக் குறையாத அடுக்கு உள்ள எந்தப் பகு பல் லுறுப்பியும் ஒடுக்கொணுப் பல் துறுப்பியாகவோ அல்லது, இரண்டோ அல்லது அவைகட்கு மேற் பட்டோ உள்ள ஒடுக்கொணுப் பல்லுறுப்பிகளேப் பெருக்கி வரும் விடையாகவோ இ ரு க் கும் உதாரணம் : x -2 என்பது ஒர் ஒடுக்கொணுப் பல்லுறுப்பி. 15. இணை அல்லது பரஸ்பர எண்கள் : P (x) என் பது ஒர் ஒடுக்கொளுப் பப்லுறுப்பியாக இருந்து, a , a, a , ......d, என்பவை P (x) = c, என் னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களாக இருந்தால், அப் பொழுது ............... என்பவைகளுள் எந்த இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணே அல்லது பரஸ் LJ arooroort u%.5% or spor (Conjugate of one another) என்று சொல்வது வழக்கம்; , d, ... (1, என்ற எல்லாவற்றையும் எடுத்துக் கொண்டால் அவை இப் பரஸ்பர எண்களின் ஒரு முழுக் தொகுதி unroasth (Complete set of conjugates) @54 கும். இவைகளுள் எந்த எண்ணுக்கும் ( , d, ...... d, இவை தவிர வேறு பரஸ்பர எண் கிடையாது. Q (x) என்பது ஒரு பகு பல்லுறுப்பியாக இருந்து, d என்பது, Q (x) = 0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருப்பின், அப்பொழுது அச்சமன்பாட்டின் மூலங்களுள் (1வின் பரஸ்பர எண்கள் அனைத்தும் அடங்கியிருக்கும். நியூட்டன் என்னும் அறிஞர் கண்டுபிடித்த ஓர் உண்மையிலிருந்து அடியிற் கொடுத்திருக்கும் விடை புலப்படுகிறது. அதாவது a, என்பது ஒர் இயல் முழு எண்ணுக இருந்து, a, d, .........d, என்பவை பரஸ்பர எண்களின் ஒரு முழுத் தொகுதியாக இருந்து, m என்பது 1, 2, 3...... என்பனவாக இருந்தால், அப்பொழுது, d 1 m + d ... m + dam...... d என்பதன் மதிப்பு ஒரு முழு எண். இதற்கு அடியிற்கண்டது ஒரு சுலபமான உதாரணம் : m என்பது 1, 2, 3......என்பனவாக இருந்தால், (2+ 2) + (2- 2): என்பது ஒரு முழு எண். 2- என்பது 1 என்பதைவிடக் குறைந்த தனி to 3riousou-u (Absolute value) எண். ஆகை யால் (2+ N ) என்பது ஏறக்குறைய ஒரு முழு எண் ணுக இருக்கும். a என்பது ஒர் இயல் முழு எண்ணுக இருந்து, d, d, ......d. என்பவையெல்லாம் தம் தனி மதிப் பில் 1க்குக் குறைந்தவையாய் இருந்தால், அப்பொழுது, d என்பதற்கும், மிக அருகில் தோன்றும் முழு எண் னிற்கும் இடையே இருக்கும் வேறுபாடு, m என்பது மதிப்பில் பெரிது ஆக ஆகச் சுன்னத்தை அணுகும். இதில் a என்பது 1-ஐ விட அதிகமான தனி மதிப் புள்ளதாக இருந்தே தீரும். இத்தகைய இயல் முழு எண்களுக்குச் சில சுவைமிக்க தன்மைகள் இருக்கின் றன. ( என்பதைப்போன்ற எண்களைப் பிசோodsjug rasadir (Pisot Vijayaraghavan Numbers) எண்கள் என்று கூறுவதும் உண்டு. இப்பெயரில் குறிப்பிடப்பட்ட பிசோ என்பவர் ஒரு பிரெஞ்சுக் கணித ஆராய்ச்சியாளர். 16. எண் களம் (Field) : ஒர் எண் தொ குதி யானது கழித்தலுக்கும் (எனவே, கூட்டலுக்கும்), வகுத்தலுக்கும் (எனவே, பெருக்கலுக்கும்) போதுமான்