716 இடத்தியல்
716 இடத்தியல் கணம் G x G இலிருந்து கணம் Gஇற்கு வரையும் (x,y) + xy என்ற அமைப்பு மாற்றி, தொடர்ச்சியா னதாக இருத்தல் வேண்டும். எண் முதல் மூன்று கட்டுப்பாடுகள் கணம் G ஐக் குலம் என எண்பிக்கவும், கடைசி இரண்டு கட்டுப் பாடுகளும் கணம் G ஐ இடத்தியல்வெளி என பிக்கவும் பயன்படும். அடுத்த இரண்டிலும் வரைய றுக்கப்பட்டுள்ள செயல் தொடர்ச்சியானது என்பதன் பொருள் கணம் G இல் x என்ற உறுப்புக்கு அருகில் x' என்ற உறுப்பு அமைந்திருந்தால் x ' இன் நேர் மாறு உறுப்பு, X இன்நேர்மாறு உறுப்புக்கு அருகில் அதாவது, x-1 க்கு அருகில் இருக்கும். இது போலவே (x', y') என்ற உறுப்பு (x,y) க்கு அருகில் இருந்தால் xy களுக்கு அருகில் x' y' இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டலைச் (addition) செயல் முறையாகக் கொண்ட அனைத்து மெய்யெண் களின் கணம் இடத்தியல் குலம் எனப்படும், இடத்தி யல் குலக் கோட்பாடுகள் மூன்று முக்கிய பிரிவுகளைக் கொண்டதாகும். அவை இயற்கணிதக் கட்டமைப் புக் கோட்பாடுகள் (theory of algebraic structure) இடத்தியற் கட்டமைப்புக் கோட்பாடுகள் (theory of topological structure), உருமாற்றக் குலங்களின் வழியாகக் குறியீட்டுக் கோட்பாடுகளைக் கண்ட றிதல் (theory of representation by transformation groups) என்பன ஆகும். நூலோதி பெ.வ. Joshi, K.D., Introduction to General Topology. Mohindu Singh Sejwal, New Delhi, 1983. இடத்தியல் கணிதவியலில் வடிவக் கணிதத்தின் (geometry) ஒரு பிரிவு இடத்தியல் (topology) ஆகும். இது சுருங்குதல், விரிவாதல் அல்லது முறுக்குதல் போன்ற தொடர்ச்சி யான உருவ மாறுபாடுகளால் வடிவஇயல் தன்மை கள் (geometrical property) மாறாத உருவங்களைப் பற்றி விளக்கும் பகுதியாகும். தொடர்ச்சியான வெட்டுதலும் மாறுபாடுகளில், உருவங்களை மடித்தலும் அடங்கா. மேலும், மற்ற வடிவக் கணிதங்களில் நீளம் (length), கோணம் (angle) ஆகியவற்றை அளப்பது போலல்லாமல் பண்படிப் படையில் அளவியலற்றது இடத்தியல் ஆகும். இது இடப் பகுப்பாய்வு (analysis situs) போன்றதாகும். இதனை ரப்பர் தாள் வடிவக்கணிதம் sheet geometry) என்றும் அழைப்பதுண்டு. (rubber தொடக்க காலத்தில், வடிவக்கணிதத்தில் ஒரு பகுதியாக இடத்தியல் வகைப்படுத்தப்பட்டிருந்தது. இது 18 ஆம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்து வந்த ஆயிலர் (Euler), ரீமான் (Riemann) 19 ஆம் நூற்றாண்டின் பாயின்கேர் (Poincare) ஆகியவர்களால் வடிவக் கணிதத்தில் உருவாக்கப்பட்ட கருத்துக்களை அடிப் படையாகக் கொண்டு வளர்ந்த பகுதியாகும். 1640 ஆம் ஆண்டு ரேனே டேகார்டே (Rene Des Cartes ) என்று பிரெஞ்சுக் கணித அறிஞர், பலகோணகத் தின் உச்சிகள் (vertices ), முனைகள் (edges), முகங் கள் (faces) ஆகியவற்றிற்கு இடையே உள்ள மாற்ற மிலித் தொடர்புகளை (invariant relationship) V - E + F = 2 என்ற வாய்பாட்டால் விவரித்தார். இங்கு V என்பது உச்சிகள், E என்பது முனைகள். F என்பது முகங்கள் ஆகும். 1752 ஆம் ஆண்டில் ஆயிலர் இவற்றிற்கு எண்பிப்புக் கொடுத்ததால் இத் தேற்றம் ஆயிலர் தேற்றம் (Euler's theorem) என்றே வழங்கப்படுகிறது. மேலும் இடத்தியலில் கோனிஸ்பர்க் ஆற்றுக் கணக்கு (konsberg river problem). ஜோர்டான் வளைவுத் தேற்றம் (Jordan curve theorem), புறப் பரப்பின் பிளவுபடா வெட்டுகள் (genus of a sur- face), ஒரு பக்கப் புறப்பரபு (one sided surface), நால் வண்ணப் படக் கணக்கு (four colour pro- blem) முதலிய பல முக்கிய கருத்துகள் இடத்தியல் வளர்வதற்கு அடிப்படையாக இருந்தன. கோனிஸ்பர்க் ஆற்றுக்கணக்கு. இடத்தியலில் மிக வும் புகழ்பெற்ற கோனிஸ்பர்க் ஆற்றுக் கணக்குக்குத் தீர்வு கண்டதன் மூலம் இடத்தியல் கருத்துகள் அதி கரிக்கத் தொடங்கின. இது கிழக்கு ஜெர்மனியில் உள்ள கோனிஸ்பர்க் நகரத்தில் உள்ள ஏழு பாலங் களைப் பற்றிய கணக்கு ஆகும். அதாவது, கோனிஸ் பர்க் நகரத்துடன் அதன் இடையில் ஓடும் ஆற்றில் அமைந்துள்ள இரண்டு தீவுகள் ஏழு பாலங்களால் இணைக்கப்பட்டிருந்தன. அங்கு விடுமுறை நாள் களில் சுற்றுலாச் செல்பவர்கள் எந்தப் பாலத்தையும் இரண்டு முறை கடந்து செல்லாமல் ஒரே முறையில் சென்று சுற்றிப் பார்க்க விரும்பினர். ஆனால் யாரா லும் அது இயலவில்லை. மேலும் நகர மக்களுக்கு அவ்வாறு நடக்க இயலுமா எனவும் தெரியவில்லை. எனவே, இறுதியாக, ஆயிலருக்கு அந்தக் கணக்கு அனுப்பப்பட்டது. கணித முறையில் ஆய்வுசெய்து, நிலப்பரப்புகள் இரண்டுக்கு மேற்பட்டதாகவும் அவற்றை இணைக்கும் பாலங்கள் ஒற்றைப்படையாக வும் இருந்தால் அவ்வாறு செல்ல இயலாது என ஆயிலர் கூறினார். இவருடைய தீர்விலிருந்து, இடத் தியல் கணிதத்தில் ஒரு தனிப்பிரிவு வளரத் தொடங், கியது. ஜோர்டான் வளைவுத் தேற்றம். இந்தத் தேற்றம் 1892ஆம் ஆண்டு கேமில்லி ஜோர்டான் (Gamille Jor- dan 1838-1922) என்பவரால் கூறப்பட்டது. வட்டம் போன்ற ஓர் எளிய மூடிய வளைவு (simply closed
