720 இடத்தியல் வெளி
720 இடத்தியல் வெளி கொண்டால் (X.T)ஓர் இடத்திய வெளி அன்று. ஏனெனில், aUb={a, b} மேலே வரையறுக்கப்பட்ட குடும்பத்தில் இல்லை. மேலும் யூக்ளீடு n பருமானவெளி (Euclidan n-dimensional space), ஹில்பர்ட் வெளி (Hilbert space), நேரியல் வெளி (linear space) சார்பு வெளி (function space)கார்ட்டீசியன் பெருக்கு வெளி(Carte- sian product space) Normal Qaraf (metric space) முதலியவை முக்கியமானவையாகும். யூக்ளீடு பருமானவெளி. இதில் உள்ள உறுப்புகள் (X1, Xg...Xn) என்ற அமைப்பில் இருக்கும். இந்த வெளியில் அடிநிலை, சூழகங்களின் (balls) உட்புற மாகும். இந்தச் சூழகங்களில் உள்ள ஏதாவது p = (XXX), q (yo yo...yn) என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள (y1-X) +2...(yo-Xa)" ஆகும். தாலைவு ஹில்பர்ட் வெளி. இதில் உள்ள உறுப்புகளின் அமைப்பு X), Ag... என்ற வரிசைத் தொடராகவும் (sequence) இத்தொடரின் கூட்டல் Ex, " ஒரு முடி வுள்ள எண்ணாகவும் இருக்கும். இதன் இடத்தியல் வெளிச் சூழகங்களின் உட்புறங்களை உறுப்புகளா கக் கொண்ட அடிநிலையைப் பெற்றிருக்கும். இந் தச் சூழகங்களில் உள்ள p (XX), q = (Y1, yg...) என்று ஏதாவது இரண்டு உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு [(yr-A1)* ஆகும். i=1 நேரியல் வெளி. இந்த வெளியில் உள்ள உறுப்புகள் (x.y) என்ற அமைப்பில் இருக்கும். நேர்கோடு, இடைவெளி ஆகியவை நேரியல் வெளிக்கு எடுத்துக் காட்டுகளாகும். சார்புவெளி. A,B ஆகிய இரு இடத்திய வெளி களுக்கு இடையே உருவாக்கப்படும் அனைத்துச் சார்புகளின் தொகுப்பு சார்புவெளி எனப்படும். கார்டீசியப் பெருக்கு வெளி. X1, X என்ற இரண்டு இடத்திய வெளியின் கார்டீசியப் பெருக்கல் X1XX, ஆகும். இதில் உள்ள உறுப்புகளின் அமைப்பு (a,b) என்ற அமைப்பில் இருக்கும். இதில் a E x, bex, இந்த வெளியின் அடிநிலையில் உள்ள உறுப்புகள் U, x U, என்ற அமைப்பில் இருக்கும். x, வெளியின் அடிநிலையில் U, உறுப்பும் x வெளியில் அடிநிலை யில் U,உறுப்பும் இருக்கும். தளம், இரண்டு நேர் கோடுகளின் கார்டீசியப் பெருக்கு வெளியாகும். அளவை வெளி. இந்த வெளியினை (x, d) எனக் குறிக்கலாம். இங்கு d என்பது X X X என்ற கார்டீசி யப் பெருக்கு வெளியிலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையும் அமைப்புமாற்றி (mapping) ஆகும். இந்த அமைப்புமாற்றி, கணத்திலுள்ள அனைத்து x, y, z களும் கீழ்க்காணும் தன்மைகளைப் பெற்றிருக்கும். 1.d (x,y)0 2. d (x,y) = d (y,x) 3. d (x,y) +d (y,z) > d (x,z) ஓர் இடத்தியல் வெளியின் குடும்பக் கணங்கள் திறந்த கணங்கள் (open sets) எனப்படும். இந்தத் திறந்த கணங்களின் பரவல் (distribution) அமைப் பைப் பொறுத்துப் பலவித வெளிகள் உருவாகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, T. என்ற வெளியில் எந்த இரண்டு புள்ளிகள் a,b ஐக் கருதினாலும் a என்ற புள்ளி G என்ற கணத்திலும், b என்றபுள்ளி H என்ற கணத்திலும் இருக்கும். ஆனால் a, H இல் இருக்காது b,G இல் இருக்காது (படம் 1) i படம் 1. T. வெளி T. என்ற வெளியில் எந்த இரண்டு புள்ளிகள் a,b ஐக் கருதினாலும் a, G என்ற கணத்திலும் bH என்ற கணத்திலும் இருக்கும். ஆனால் G,H ஆகியவை வெட்டிக்கொள்ளா (படம்2). இவ்வெளிக்கு ஹஸ்டார்ப் (hausdorf) வெளி எனப்பெயர். G படம் 2. T, வெளி T. என்ற வெளியில் F என்ற மூடிய கணத்தையும் F ஐச் சாராத P என்ற புள்ளியையும் கருதினால் F, G என்ற கணத்திலும் P, H என்ற கணத்திலும் இருக்கும்.ஆனால் G,H ஆகியவை வெட்டிக்கொள்ளா (படம் 3). இவ்வெளிக்கு ஒழுங்கான வெளி (regular space) எனவும் பெயர் உண்டு.
