902 ஓரியல்பு இயற்கணிதம்
902 ஓரியல்பு இயற்கணிதம் D-C இது H (c) H″(c') என்ற H" இணை ஓரியல்பு களின் கோத்தல்களைத் தோற்றுவிக்கிறது. சரியொத்த (monomorphisrns) என்ற வகுப்பு (equivalence class) c இன் உட்கலப்பு (sub complex) எனப்படும். இதை அந்த வகுப்பின் Dஎன்ற பிரதிநிதி (representative) ஆல் குறிப்பிடலாம். d₁:c p.q p+1.9 →C dg:c p.q p,q+ 1 என்ற இருவகையீடல்களும்d '=d' =o.d,du=d, d2, என்ற விதிகளுக்கு உட்பட்டு cP, ா என்ற பொருள் களும் அடங்கியுள்ள கலப்புப் பகுதி ஓர் இரட்டைக் கலப்பு (bicomplex or double complex) எனப்படும். ch=cp, a என்று எடுத்துக்கொண்டால், p+q=n கலப்பு ஒற்றைக் கலப்பாக மாறும் மேல் வகையீடல் d=d,+ (-1) bd இரட்டைக் இங்கு CP, 4இன் என்று வரும். dஐ முழு வகையீடல் (lotal differentiation) என்றும் d, du ஆகியவற்றைப் பகுதி வகையீடல்கள் (partial differentiation) என்றும் குறிப்பிடலாம். பொருத்தமான வரிசைத் தொடர்கள். C, C' என்ற ரு அபீலியன் வகையினங்களை எடுத்துக்கொண் டால் C இல் பொருத்தமான தொடர் வரிசைகள் உள்ள வரிசை C' இல் பொருத்தமான தொடர் களுக்கு மாற்றும் T;C→C' என்ற இணைமாறிச் சார் பன் (covariant functor) பொருத்தம் ஆகும். O+A+BC0 என்ற ஒவ்வொரு குறுகிய வரிசைத் O-T(A)→ தொடருக்கும் T(A)-T(B)T(C), T(B)-T(C), T(A)T (B)→T(C) +0 என்ற வரிசைத் தொடர்கள் பொருத்தமாக அமைந்தால் இவற்றை முறையே பாதிப்பொருத்தம், இடப்பொருத் தம் வலப்பொருத்தம் எனலாம். முரண்மாறி சார்பன்களுக்கும் (contravariant functor) இவ்வரை யறைகள் பொருந்தும். T மட்டுகளின் வகையினங்கள். (categories of modules) Aஜ ஏதேனும் ஒரு பொருள் என்றும், Bஐ அதன் ஓர் உட்பொருள் (sub object) என்றும் {Ai} ஐ முழுதும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட உட்பொருள் களின் குடும்பம் (rotally ordered family of subgroups) என்றும் கொண்டு அபீலியன் வகுப்புக்கு ஓர் உருவாக்கி (generator) எப்போதும் நேர்கூட்டுகள் (direct sums) தோன்றுவதாகவும் (UAI) JB = U (ADB) என்ற சமன்பாடு பொருந்துவதாகவும் இருந்தால் C என்பது ஒரு குரோத்தென்டீக் (grothendieck) வகையினம் எனப்படும். அபீலியன் வகையினங்களை R வழியாகக் கருதும்போது முழு பதித்தல் (full embedding) தேற்றத்திலிருந்து பல உண்மைகளைக் காண இயலும். . ஒரு பொருள், ஒரு விடுபட்ட மட்டு நேர்கூட்டல் பொருளுக்கு இயல்முறை மாற்றக் கோத்தலாக இருந்தால் அப்பொருள் வீழச்செய்தல் என்ப்படும். எந்த ஒரு வீழச்செய்தல் மட்டும் பல்வேறு வீழச் செய்தல் மட்டுகளின் எண்ணிக்கை உருவாக்கிகளின் நேர்கூட்டு ஆகும். எல்லையுடைய உருவாக்கப்பட்ட வீழல்செய்த finitely generated projective) P,P, அலகுகள் சமமாக இருக்க வேண்டுமானால் P,OF, P,OF, என்ற நேர்கூட்டல் விதிக்கு உட்பட வேண்டும். இங்கு FF, எல்லையுடைய உருவாக்கப்பட்ட வீழல் செய்த மட்டுகளாகும். நேர்கூட்ட அமைப்பைப் பொறுத்து இந்த ஒத்த வகுப்புகள் ஓர் அபீலியன் குலத்தை ஏற்படுத்தும். இந்த அபீலியன் குலம் Ik என்ற வளையத்தின் (ring) வீழல் வகுப்புக் குலம் எனப்படும். ஓர் அடர்த்திவெளியின் (compact space) மேலுள்ள கலப்புகளின் திசையக் கட்டுகள் (complex vector bundles) எ{ x) இன் மேலுள்ள வீழல் மட்டு களின் வகைக்கு ஒத்து இருத்தல் வேண்டும். இங்கு c(x) என்பது கலப்பு எண்கள் மதிப்புடைய தொடர்ச்சியான சார்புகளின் வளையம் (ring of complex valued continuous functions) ஆகும். இது போல் பல்வேறுபட்ட வெளிகளுக்கும் கட்டுகளுக்கும் வரையறுக்க இயலும். சேர்ப்பு இயற்கணிதங்களுக்கு இணை ஓரியல்புக் கோட்பாடுகள். (cohomology theory for associative algebras) ஒரு பரிமாற்று வளையம் (commutative ring) K இன் மேல் \ ஓர் இயற்கணிதமெனவும், A ஓர் இருபுற மட்டு (two sided A module) எனவும் கொள்ளலாம். A விலிருந்து A க்குச் செல்லும் அமைப்பு அனைத்து n - நேரியல் மாற்றங்களின் (all n-linear mappings) அலகுகளை CR கொள்ளலாம். இந்த அலகுகள் n இணைச் சங்கிலி எனப்படும். ணை வரம்புச் செயலி (coboundary operator) 8 ccm+ ஐ (8″f) (l ="A,f {^g^g ... 'n+1 j one An+1) + (-1) f(a...Asi++1 i=1 n+ + (-1) n + 1 f (^ 1 ... 1a) 1n+1 என்று என்று வரையறுக்கலாம். எனவே இங்கு H (A,A) என்று குறிக்கப்பட்ட இணைஓரியல்பு கிட்டும். இந்த ணை ஓரியல்புக்கெழு மட்டு (coefficient module A இன் ஹோஷிடின் இணை ஓரியல்புக் குலம் {Hoschied's conomology group) எனப்படும். லீ இயற்கணிதங்களின் இணை ஓரியல்புக் கோட் பாடு. (cohomology theory of lie algebras). k என்ற ஒரு பரிமாற்று வளையம் மேல் g ஒரு லீயின் இயற் கணிதமானால் அணைவுறை இயற்கணிதம்
