618 காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக்
6/8 காஸ், கார்ல் ஃபிரெடிரிக் கொள்கையின் எண்ணங்களையும், முறைகளையும் ஒழுங்குபட எழுதியுள்ளார். எண் கொள்கை என்பது முழு எண்களின் (integers) பண்புகள், தொடர்புகள் பற்றியதாகும். காஸின் எண்ணப்படி, எண் கொள்கை என்பது கணிதத்தின் மிக முக்கியமான பகுதியாகும். அந்நூலில், ஒருங்கிசைவு எண்களைப் (congruent num bers) பற்றி மிக விரிவாக எழுதியுள்ளார். இரு எண் களைப் பிறிதொரு எண்ணால் வகுக்கும்போது ஒன்று மீதியாகக் கிடைத்தால், அவ்விரு எண்களும் ஒருங் கிசைவு எண்கள் எனப்படுகின்றன. சான்றாக,5,11 ஆகிய எண்களை 2 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதி 1 ஆகும்: எனவே 5, 11 ஆகிய இரு எண்களும் 2ஐ மட்டாகக் கொண்ட ஒருங்கிசைவு எண்கள் ஆகும். மேலும் அந்நூலில் இருபடி எதிரீட்டு முறை யின் விதிக்கு (law of quadratic reciprocity) முதன் முறையாக நிறுவல் கொடுத்துள்ளார்; இவ்விதி எச்சங் கள் (residues) பற்றியதாகும்; இதைச் சமன்பாடுகளின் சிறப்பு வகைகளுக்குப் பயன் படுத்தினார்; இதன் மூலம் இயற்கணிதம். எண் கணிதம், வடிவக் கணிதம் ஆகிய மூன்றின் கருத்து களையும் அவரால் ஒன்று சேர்க்க முடிந்தது. சான்றாக, Д பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு ஒழுங்கு பல கோணத்தை (regular polygon) வரைதல் என்னும் வடிவக் கணிதக் கணக்கிற்கு இயற்கணிதத் தீர்வு ஒன்றை அவர் தெரிவித்தார். யூகிலிட் என்னும் கிரேக்க நாட்டுக் கணிதவியலார் 3,4,5,15, 6, 8, 10, 30 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒழுங்கு பலகோணங்களை, கவராயம்(compass ) வரை கோல் (ruler) ஆகிய இரண்டைய டயுமே பயன்படுத்தி, வடிவக் கணித முறையில் வரைய முடியும் எனக் காட்டியுள்ளார். எண் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்டுள்ள பக்கங்களைக் கொண்ட ஓர் ஒழுங்கு பலகோணத்தை வடிவக் கணித முறையில் வரைய இயலுமா எனத் தீர்மானிக்க ஒரு கட்டளை விதியைக் காஸ் உருவாக்கினார். சான்றாக, கவ ராயம், வரைகோல்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி ஒரு வட்டத்தின் உள்ளே 17 பக்கங்களைக் கொண்ட ஓர் ஒழுங்கு பலகோணத்தை வரைந்து காட்டினார். இது யூகிலிட் காலத்திற்குப் பின் நிகழ்ந்த முதல் கண்டு பிடிப்பு ஆகும். மேற்கூறிய இவருடைய எண் கொள்கை நூல் புதுமை எண்கணித எண் கொள்கைக்கு அதாவது, இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கு வழி வகுத் தது. காஸ் அதில் a, b என்னும் முழு எண்களால் ஆன a+b/-1 என்னும் அனைத்துக் கலப்பு எண்களின் எண் கணிதத்தை அறிமுகம் செய்தார். இவருக்கு முன்பு a +bJ/T என்னும் கலப்பு எண்கள் உள்ளுணர்வாகவே (intuitively) அறிமுகம் செய்யப் பட்டிருந்தன. அந்நூலில் a, b என்னும் மெய் எண் களால் ஆன a+bVT என்னும் கலப்பு எண்ணைக் காஸ் தயங்காமல் பயன்படுத்தினார். தளத்தில் (plane) கலப்பு எண்களைக் குறிப்பதன் மூலம், அவற்றின் சரியான கொள்கையை (exact theory) உருவாக்க முடியும் என்பதை 1831 இல் மிகவும் ஆழமாக விளக்கினார்: இது 1832இல் வெளி வந்தது. தம்முடைய உயர் திறமையைப் பயன்படுத்த காஸிற்கு நல்வாய்ப்பு ஒன்று 1801இல் கிட்டியது. இதன் மூலம், தாம் கல்வி பெறுவதற்கு உதவிய கோமகனுக்கு நன்றி தெரிவிக்கவும் முடிந்தது.1801 ஜனவரி முதல் நாள் விண் பொருள் ஒன்று, சூரியனை நோக்கி வருவதாகக் காணப்பட்டது. அதை மீப்பெரு சிறுகோள் (asteroid) சீரிஸ் (ceres) என்று அறிந்தனர். பார்வையில் இருந்து அது மறையும் வரை அதை 40 நாள் வானியல் அறிஞர்கள் உற்றுநோக்கியும், அதன் இயங்கு பாதையை அவர்களால் கணக்கிட முடிய வில்லை. ஆனால் காஸ் அந்தச் சிறுகோளை மூன்று முறை மட்டுமே உற்றுநோக்கிய பின் அதன் இயங்கு பாதையின் கூறுகளை மிகத் துல்லியமாகக் கணக்கிட நுணுக்கமான உத்தி ஒன்றை உருவாக்கினார். . வானியல் அறிஞர் பலர் 1801 இன் இறுதி யிலும், 1802 இன் தொடக்கத்திலும் அந்தச் சிறு கோளின் இடத்தை இவ்வுத்தியின் துணையால் மிக எளிதாக மீண்டும் குறித்தனர், இவ்வுத்தியின் ஒரு பகுதியாக மீச்சிறு வர்க்க முறையைக் காஸ் பயன் படுத்தினார். இம்முறைப்படி ஒரு குறிப்பிட்ட கணிப் பீட்டில் வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட வேறுபாடுகளின் மீச் சிறு கூட்டுத் தொகைகளிலிருந்து மிகச் சிறந்த மதிப் பீட்டைப் பெற முடியும். வானியலில் காஸின் இவ் வரிய சாதனையால் உலகம் அவரின் திறமையை உடனே ஏற்றுக்கொண்டது. இம்முறைகளை 1809 இல் காஸ் "Theoria Motus Corporum Coelestinum" என்னும் நூலில் விளக்கியுள்ளார்; இவை இன்றும் வழக்கத்தில் உள்ளன. இவற்றைப் புதுமைக் கணிப் பொறிகளுக்கு ஏற்புடையவையாக்க ஒரு சில மாறுதல் களே தேவைப்படுகின்றன. சீரிஸிடம் கிடைத்தது போன்ற வெற்றி, பல்லாஸ் என்னும் சிறுகோளிடமும் இவருக்குக் கிடைத்தது; இதற்காக, கோள்களால் பல்லாஸின் இயங்கு பாதைக்கு ஏற்பட்ட அலைவு களையும் கருத்திற்கொண்டு இவர் தம் கணிப்பீட்டை மேலும் துல்லியம் ஆக்கினார். பிரன்ஸ்விக் கோமகன் காஸின் ஆய்விற்குத் தொடர்ந்து பண உதவி செய்தார். எனவே 1803 இல் செயின்ட் பீட்டர்ஸ்பர்க்கில் அளிக்கப்பட்ட பேராசிரியர் பதவியை மறுக்க நேர்ந்தது. முன்னரே, அறிவியல் கழகத்தின் தொடர் உறுப்பினராகக் காஸ் இருந்தார். 1807 இல் காட்டிங்கன் பல்கலைக் கழகத்தின் வானியல் பேராசிரியராகவும், புதிய வானாய்வு நிலைய இயக்குநராகவும் ஆனார். தம் வாழ்வின் எஞ்சிய நாளில் காஸ் இங்கேயே தங்கி இருந்தார். 1820 இல் புவியின் மேற்பரப்பின் வடிவத்தையும் பருமனையும் கணித முறையில் தீர்மானிக்கும் புவி
