662 கோஷி தோற்றம்
662 கோஷி தோற்றம் (regular function) மதிப்பை, C ஐச் சுற்றிய வளை வரைத் தொகையாக (contour integral) எழுத முடியும். இதிலிருந்து அரங்கு D யில் f() ஓர் ஒழுங்கு சார்பு என்றால், அதன் வகைக்கெழு f(§) 1 2ri f(z) dz (2-)² என்றும் II ஆம் வகைக்கெழு n! 21 f(z) dz (2-5)+1 என்றும் குர்சாரத்தின் துணைக் கோட்பாடு (lemma) கொண்டு இத்தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. இது வளைவரைத் தொகைக்கு அடிப்படைத்தேற்றமாக {fundamental theorem) அமைந்தது. கோஷியின் கணித ஈடுபாட் டிற்குக் காஸ், லாப்லாஸ், லாகிரஞ் ஆகியோர் காரணமாவர். ஆனால் தம்மிடம் வந்த குலூவா. ஏபெல் ஆகியோரின் ஆராய்ச்சிகளில் அக்கறை காட்டாமை, அவர்களின் தி றனை ஊக்கு விக் காமை இவை கோஷியிடம் காணப்பட்ட ஒரு பெரும் குறையாகும். ஏ எஸ்.குமாரசாமி சி.இராசேந்திரன் fr() = காணலாம். 1/n கோஷியின் குவியச் சோதனை (Cauchy's conver- gence test). மிகை உறுப்புகளால் (positive terms ) ஆகிய ஒரு தொடர் Ean, Im என்ற உ இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் k ஒரு நிலைத்த எண்ணாக இருக்கும் போது ani/n < k<1 ஆனால் குவியும் தொடர் (convergent series) என்றும், an எல்லா n> m என்றால், விரியும் தொடர் (divergent series) என்றும் குறிப்பிடப்படும். எல்லை a 1/n என்றால் 1<1 எனும்போது 2 In குவியும். 1 > 1 என்றால் 2 an விரியும் எல்லை am1/0 = 1 என்றால் இச்சோதனை பயன்படாது. தொடர் விரியவோ, குவியவோ செய்யும், கோஷியின் குவியச் சோதனை கோஷி மூலச் சோதனை (Cauchy's root test) என்றும் குறிப்பிடப்படும். கோஷி-ரீமான் சமன்பாடுகள் (Cauchy-Riemann equations). fuz) = u (x,y) + it (x,y) என்ற சிக்கல் மாறிச்சார்பு (complex variable function) பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கத் தேவையான நிபந்தனைகளாவன: 2 v อน 2 & OX இவ்விருசமன்பாடுகளும் கோஷி-ரீமான் சமன் பாடுகள் எனப்படும். கோணத் தொலைவு ஆயங் களில் (polar coordinates), x = r Cost,y = r Sin 8, f(z) = u(г,0). + io (r,0) இங்கு, கோஷி-ரீமான் நிபந்தனைகளாவன: ur = - கோஷி தேற்றம் (Cauchy's theorem). C என்ற எளிய மூடிய வளைவரையின் மீதும் உள்ளும் அனைத்துப் புள்ளிகளிடத்தும் f(z) ஒரு பகுமுறைச் சார்பு என்றால் f(z)dz= 0 ஆகும். கோஷி தேற்றம் எச்ச நுண்கணிதத்தில் (calculus of residue) ஓர் அடிப்படை வாய்பாடு, கோஷி தேற்றம் எனப்படும். 2 என்ற சிக்கல் மாறியின் (complex variable) பகுமுறைச் சார்பு (analytic function) f{z) ஆனால் (z) dz=0 என்பது கோஷி தேற்றமாகும். fr (z) d z = இங்கு c ஒரு மூடிய வளைவரை; இதன் உள்ளோ, மேலோ 2க்குச் சிறப்புப்புள்ளி (singular point) இல்லை.C யின் உருவரை (contour) முழுதும் தொகை விரிவாக்கப்படும். கோஷி தேற்றம் மூலம். ஒரு சார்பின் எச்சங்கள் வரையறுக்கப்படுவதால், சிக்கல் தளத்திலும் தொகையிட முடியும். கோஷி தொகைத் தேற்றம் பங்கஜம் கணேசன் கோஷி தேற்றத்தின் ஒரு விரிவு கோஷி தொகைத் தேற்றம் (Couchy's integral theorem) ஆகும். சிக்கல் தளத்தில் (Complex plane) ஒரு முடிவுறு தனித் தொடுப்புள்ள எண் அரங்கம் (finite simply connected domain) D இல் f (z) ஒரு பகுமுறைச் சார்பானால் So f (z) dz=o என்பது கோஷி தொகைத் தேற்றமாகும். இங்கு C. D இல் உள்ள ஒரு மூடிய நேர்படுவரை (closed rectifiable curve) ஆகும். ஒரே மாதிரியான தொடக்க, முடிவுநிலைப் புள்ளிகளை உடைய ரண்டு ஒழுங்கு வளைவரைகள் cic உள்ள பரப்பில் (region) பகுமுறைச் சார் பானால். இரு வளைவரைகளின் மேல் அமையும் f (z) இன் இரண்டு தொகைகளும் சமமாகும்.
