சம உருவ மாற்றம் 755
அளக்கை முறைகளில், தரையில் பல இடங்களின் உயரங்கள் தக்கவாறு கணிக்கப்படுகின்றன. குறிப் பிட்ட சம உயரியின் அமைவிடம், அடுத்தடுத்த இரண்டு இடங்களின் உயரங்களைக் கொண்டு இடைக் குறியீடு மூலமாகக் கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. இத் தகைய புள்ளிகளை ணைப்பதால் சம உயரி கிடைக்கின்றது. சம உருவ மாற்றம் பொடுமுடி சண்முகம் இரண்டு வேறுபட்ட குலங்களுக்குள் ஒரே மாதிரியான உறுப்புகள் இருந்தால், குலங்களுக்கு இடையிலுள்ள வேற்றுமையைக் கடந்து உறுப்புகளுக்கு இடையி லுள்ள ஒற்றுமையைக் கொண்டு ஒரு குலத்தில் உள்ள உறுப்புகளால் அடுத்த குலத்தில் உள்ள உறுப்புகளைப் பிடித்து விடலாம். இதையே நவீன இயற்கணிதத்தில் சமநிலை உருவமாற்றம் (isomorphism) என்பர். எடுத்துக்காட்டாக G என்பது ஒரு குலம். G' என்பது ஒரு குலம் f: G-G' என்பது ஒரு சார்பு,x என்ற உறுப்பு G இல் இருந்தால் அதற்கேற்ற உறுப்பை G' இல் பிடிக்கf இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதியின்படி f(x) ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சம உருவ மாற்றம் 755 G,G' என்னும் இரண்டு குலங்களும் ஒரே மாதிரி யாக இருக்கவேண்டுமென்றால் xy என்னும் உறுப்பு fஇல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விதியின் படி f(x). f(y) என்று மாற வேண்டும். இதுவே f(xy) = f(x). f(y) என்று குறிப்பிடப்படும். இரண்டு குலங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் அந்த ரி சம உருவ மாற்றம் எனப்படும். விதி. G.G என்பவை இரண்டு குலங்கள் f; G+G' என்பது ஒரு சார்பு. இந்தச் சார்பு சம உருவ மாற்றம் என இருக்கவேண்டுமானால் கீழ்க் காணும் விதிகள் நிறைவேற்றப்படவேண்டும். 1. ஒரு (one to one, onto) 2. f(xy) f(x). f(y) சார்பு இந்த விதி G யில் இருக்கும் எல்லா உறுப்புகளுக்கும் பொருந்தும் எடுத்துக்காட்டு. 1. (z,+) என்பது ஒற்றைப் படை எண்களால் அமைக்கப்பட்ட குலம். (22,+} என்பது இரட்டைப்படை எண்களால் அமைக்கப் பட்ட குலம். f: z+2z என்பது ஒரு சார்பு. இந்தச் சார்பின் படி fx) = 2X எனில், 1) f ஒரு (one to one, onto) சார்பு + 2} f (x+y) = 2( x + y} = 2x + 2y = f(x} + f(y) எனவே f ஒரு சம உருவ மாற்றம் ஆகும். (2, +) X ጻ y xy xy x + y அ.ச.9-48 அ (2z. +) 2x 2y 2( x + y)
