பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 1.pdf/289

அளவியல்

247

அளவையியல்

வும் இருந்தால், அதன் அடியின் பரப்பையும் உயரத்தையும் பெருக்கி அதன் பருமனைப் பெறலாம். பட்டகம், உருளை போன்ற வடிவங்களின் பரப்புக்களை இவ்வகையில் அறியலாம்.

பலகோண வடிவுள்ள அடியையும், அதன் தளத்திலில்லாத முனையொன்றையும் கொண்ட திட உருவம் பிரமிடு எனப்படும். அடிக்கு இணையான இதன் வெட்டு முகங்கள் ஒத்தவை. இத்தகைய திடத்தின் பருமன் ${\tfrac {1}{3}}$ X அடித் தளம்X உயரம். கூம்பு என்பது அனந்தமான சிறு பக்கங்களைக் கொண்ட பிரமிடு எனக் கொள்ளலாமாகையால் அதன் பருமனையும் இதே சூத்திரத்தால் குறிப்பிடலாம்.

கோளத்தின் பருமனை அறிய. அதற்குச் சமமான விட்டமும் உயரமும் உள்ள உருளையை எடுத்துக்கொள்வோம். வடிவ கணித முறையால், கோளத்தின் பருமன் இவ்வுருளையின் பருமனின் 2/3 பங்கு எனக் காட்டலாம். கோளத்தின் ஆரம் r எனில், உருளையின் அடித்தளத்தின் பரப்பு π r². அதன் உயரம் 2 r. அதன் பருமன் 2 π r³. ஆகையால் கோளத்தின் பருமன் ${\tfrac {2}{3}}$ X 2 π r³ அல்லது ${\tfrac {4}{3}}$ 2 π r³.

வளைவான பரப்புக்களை அளவிடுதல் : உருளையின் வளைவுப் பரப்பைப் பிரித்து, அதைச் சமதளமாக்கினால் ஒரு செவ்வகத்தைப் பெறலாம். இதன் நீளம் உருளையின் சுற்றளவிற்கும், அகலம் உயரத்திற்கும் சமமாக இருக்கும். உருளையின் ஆரம் r எனவும், உயரம் h எனவும் கொண்டால், சுற்றளவு 2 π r. ஆகையால் பரப்பு 2 π rh.

இதைப்போலவே கூம்பின் பரப்பைப் பிரித்துச் சமதளமாக்கினால் ஒரு வட்டக் கோணப்பகுதியைப் பெறலாம். இந்த வட்டத்தின் ஆரம் கூம்பின் சாய்வுப் பக்கத்திற்குச் சமம். வட்டங்களின் சுற்றளவுகள் ஆரங்களுக்கு நேர்விகிதப் பொருத்தத்தில் இருக்கும். ஆகையால் கூம்பின் பரப்பிலிருந்து பெறப்படும் வட்டக் கோணப்பகுதியின் பரப்பிற்கும், இம் முழுவட்டத்தின் பரப்பிற்கும் உள்ள விகிதம், அடிநிலையின் ஆரத்திற்கும் சாய்வு உயரத்திற்கும் உள்ள விகிதத்திற்குச் சமம். சாய்வு உயரத்தை ஆரமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் பரப்பு π S ² ஆகையால் வட்டக்கோணப் பகுதியின் பரப்பு π rs (s=கூம்பின் சாய்வுப் பக்கம்).

ஒரு கோளம் அதன் விட்டத்திற்குச் சமமான பக்கமுள்ள கனசதுரத்திற்குள் அடங்கியுள்ளது எனக் கொள்வோம்: கோளத்தின் ஆரம் r எனில் கனசதுரத்தின் பக்கம் 2r. இவற்றின் பருமன்கள் முறையே ${\tfrac {4}{3}}$ π r³, 8 r³ ஒரு திடவடிவத்திற்குள் அடங்கியிருக்குமாறு ஒரு கோளத்தை வரைந்தால், இவ்விரண்டின் பருமன்களின் விகிதம், பரப்புக்களின் விகிதத் திற்குச் சமம். கனசதுரத்தின் பரப்பு 24 r² ஆகையால் கோளத்தின் பரப்பு 4 π r².

பாப்பசின் தேற்றங்கள் (Theorems of Pappus) கி.பி. 3ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் அலெக்சாந்திரியாவிலிருந்த சிறந்த கணித அறிஞரான பாப்பஸ் என்பவரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டவை. இவை சுழற்சியினால் தோன்றும் உருவங்களின் பரப்புக்களையும் பருமன்களையும் கண்டறிய இத்தேற்றங்கள் பயன்படுகின்றன. சமதளமான மூடிய வளைவொன்று அதே தளத்தில் அதற்கு வெளியே உள்ள அச்சில் சுழன்றால் தோன்றும் உருவத்தின் 1. வளைவின் சுற்றளவை அதன் கவர்ச்சி மையம் இயங்கும் நியமப்பாதையின் நீளத்தால் பெருக்கிப் பரப்புப் பெறப்படும். 2. வளைவின் பரப்பை அதன் கவர்ச்சி மையத்தின் நியமப்பாதையின் நீளத்தால் பெருக்கிப் பருமன் பெறப்படும்.

அளவையியல் : நோக்கம் : மானிடரின் சிறப்பியல்பாகிய அறிவை அளக்கும் நூல் அளவையியல் ஆகும். இது அறிவு எங்ஙனம் பெறப்படுகிறது? அதன் இயற்கை யாது? உண்மையான அறிவைப் பொய்யான அறிவிலிருந்து எங்ஙனம் வேறுபடுத்துவது? அதற்கேற்ற உரைகல் யாது? இவற்றையும் இவைபோன்ற கேள்விகளையும் விளக்கி, அறிவை அளக்கும் நோக்கமுடையது. இதை வடமொழியில் தருக்க நூலென்றும், நியாய சாத்திரமென்றும் கூறுவர் ; ஆங்கிலத்தில் லாஜிக் (Logic) என்பர் ; இச்சொல் சிந்தனையென்னும் பொருள் கொண்டது ; கிரேக்க மொழியிலிருந்து வந்தது. ஆகவே இது சிந்தனையின் வகைகளையும் விதிகளையும் விளக்கும் நூலாகும்.

அளவையியலின் இரு பிரிவுகள் : சிந்தனையின் போக்கில் சாதாரணமாக இரண்டு முறைகளைக் காண்கிறோம். பல நெட்டித் துண்டுகளை ஆற்றிலும் குளத்திலும் நீருள்ள பல பாத்திரங்களிலும் இட்டு, நெட்டியனைத்தும் தண்ணீரில் மிதக்கும் என்னும் விதியை யறிகிறோம். பல உதாரணங்களை ஆராய்ந்து, அவற்றிலிருந்து பொது விதியைத் தொகுத்து அறியும் இம்முறையைத் தொகுப்புவழி அளவை என்னலாம். இதை வடமொழி யில் ஆகமனவாதம் (Inductive logic) என்பர். ஆனால் நெட்டியனைத்தும் நீரில் மிதக்குமென்ற பொது விதியிலிருந்து இந்த நெட்டிப்பொம்மை நீரில் மிதக்கு மென ஊகித்தலாகிய மற்றொரு முறையைப் பகுப்புவழி அளவை என்னலாம். இதை வடமொழியில் நிகமன வாதம் (Deductive logic) என்பர்.

பகுப்புவழி அளவை

சிந்தனைத் தொழில்கள் : அறிவு பெறுவதில் புத்தியின் செயல்களை மூவகைப்படுத்தலாம்: (1) ரோஜா, குதிரை, நேர்மைபோன்ற பொதுமைக் கருத்துக்களை அடையச் செய்யும் தொழில் பொதுமைக் கருத்து (Conception) என்பதாகும். எண்ணங்களை மொழியில் உரைத்தால் பதங்களாகும் (Terms). (2) 'ரோஜா செந்நிறமானது', 'நஞ்சை உண்டால் மரணமடைவான்' என்பவை போன்ற துணிபுகளை அடையச் செய்யும் செயல் தீர்ப்பு (Judgment) என்பதாகும். தீர்ப்பை மொழியில் உரைத்தால் வாக்கியம் (Proposition) ஆகும். (3) 'புகையுடையது தீயுடையது'; ' இம்மலை புகையுடைமையால் தீயுடையது' என்று ஊகிக்கச் செய்யும் செயல் அனுமானம் (Inference) என்பதாகும். அனுமானத்தை மொழியில் உரைத்தால் அனுமான வாக்கியம் ஆகும். பகுப்புவழி அளவையானது பதங்கள், வாக்கியங்கள், அனுமானங்கள், இவற்றின் இயல்பு வகைகள், விதிகள், இவைபற்றி ஏற்படக்கூடும் போலி நியாயங்கள் போன்றவற்றை விளக்குகிறது.

பதங்கள் : வாக்கியங்களின் பாகங்களாகிய பதங்களில் பல பிரிவுகள் உள : (1) மனிதன், நாற்காலி போன்றவை பொதுப் பதங்கள். (2) காந்திஜி, டெல்லி, எவரெஸ்டு சிகரத்தைக் கண்டுபிடித்தவர் போன்றவை சிறப்புப் பதங்கள். (3) நூல், மரம், சிப்பாய் போன்றவை தனிப் பதங்கள். (4) நூல்நிலையம், தோப்பு, சேனை போன்றவை தொகுப்புப் பதங்கள். (5) குளிர்ச்சி ஓசை, வெண்மை போன்றவை பண்புப் பதங்கள். (6) பனிக்கட்டி, மணி, சுண்ணாம்பு போன்றவை பண்பிப் பதங்கள். (7) அயோக்கியன், தைரியமற்றவன், இரக்கமின்மை போன்றவை எதிர்மறைப் பதங்கள். (8) யோக்கியன், தைரியசாலி, இரக்கம் போன்றவை உடன்பாட்டுப் பதங்கள். (9) கல், மரம், குடை போன்றவை