இயல் எண்கள் 8. மூன்று முக்கியமான உண்மைகள் : என் பது ஒரு யூக்ளிடு எண்ணு, இல்லையா என்பது கணித வியலில் ஒரு பெரிய பிரச்சினையாக இருந்தது. இது பல நூற்ருண்டுகளாக நிபுணர்களால் ஆராயப்பட்டு வங் தது. சென்ற நூறு ஆண்டுகளுக்குள்தான் இது யூக்ளிடு எண் இல்லே என்பது தெரியவந்தது. இதே மாதிரியே T என்னும் வட்ட - விட்ட விகிதம் யூக்ளிடு எண் இல்லை என்பதும் சென்ற நூறு ஆண்டு களுக்குள்தான் அறியப்பட்டது. இவைகளைப் போலவே சில கோணங்களைத் தவிர, பொதுவாகக் கோணங்களே 3 சமபாகமாகப் பிரிப்பது என்பது இயலாது என்னும் உண்மையும் சென்ற நூறு ஆண்டுகளுக்குள்தான் நிரூபிக்கப்பட்டது. இவ் விஷயம் யூக்ளிடு எண்களுடன் தொடர்புள்ளது. யூக்ளிடு எண்கள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், வருக்கமூலம் எடுத்தல் என்னும் ஆங்து வினே களுக்கும் போதுமானவையாக இருக்கின்றன. இவற் றைப் போலவே, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத் தல், எல்லா அடுக்குக்களின் மூலங்களையும் எடுத்தல் என்பனவற்றிற்குப் போதுமான தொகுதிகளேயும் கருத லாம். யூக்ளிடு எண்களில் வருக்கமூலம் மட்டுமே வரும் ; இத்தொகுதிகளில் எல்லா அடுக்குக்களின் மூலங்களும் வரும். உதாரணம் : V.+V.—V. கடைசியாகக் கூறப்பட்ட தொகுதியில் அதற்குமுன் நாம் ஆராய்ந்திருக்கும் தொகுதிகளெல்லாம் அதாவது, இயற்கை முழு எண்கள், முழு எண்கள், பகு எண்கள், யூக்ளிடு எண்கள் அடங்கி யிருக்கின்றன. இவை எல் லாம் இயல் எண்களே என்பது (1, 3 என்பவை இயல் எண்களாய் இ ரு ங் த ால், ! + β, а—В, αβ, , ,a, {a, Wa என்பனவும் இயல் எண்களே ്ജമ உண்மையிலிருந்து எளிதில் புலப்படும். 9. வருக்கம், கனம், நான்காவது அடுக்கு அடங் கியவையும், இயற்கை முழு எண்களேக் கெழுக்களாகக் கொண்டவையுமான சமன்பாடுகளே இப்பொழுது கருதுவோம். இவைகளின் மூலங்கள் இயல் எண்கள். ஏனெனில் இயல் எண்கள் இத்தகைய சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் என்று நாம் ஏற்கெனவே சொல்லியிருக் கிருேம். இச் சமன்பாட்டின் அடுக்கு ஒன்ருய் இருக் தால் (அதாவது ax + b =o, a=o, என்னும் சமன் பாடு) அதன் மூலம் ஒரு பகு எண் ஆகும். இந்தச் சமன்பாடு 2ஆம் அடுக்காக (அதாவது வருக்கமாக) இருந்தால் அதன் மூலம் யூக்ளிடு எண்கள் போன்ற ஒரு பகுதியாக இருக்கும். உதாரணம்: ax* +b× + c = or a zoo, == – botv'bo-4ac என்னும் சமன்பாட்டின் மூலம் TT 2a என்னும் எண். இதைப்போலவே 3, 4 என்னும் அடுக்குக்களின் மூலங்களைப் பெறலாம். இந்த மாதிரியே 4க்கு மேற் பட்ட அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடுகளுக்கும் மூலங் கஅளப் பெற முடியுமா என்பது முக்கியமான பிரச்சினை யாக இருந்தது. பல நூற்ருண்டுகளாகக் கணித நிபுணர்களின் ஆராய்ச்சிக்கு இலக்காக இது இருந்து வந்தது. இது இயலாது என்ற விடைதான் இக் கேள் விக்குக் கடைசியாகக் கிடைத்தது. ஏனெனில் 5ஆம்
is. இயல் எண்கள்
அடுக்குக்கள் அடங்கிய சில சமன்பாடுகளுக்குக் கிடைக்கும் மூலம் இதுவரை நாம் கடைசியாகக் கருதி யிருக்கும் எண்களில் அடங்காமல் இருக்கிறது. இதி லிருந்து நமக்கு இரண்டு புதிய உண்மைகள் கிடைக் கின்றன. 1. கடைசியாகக் கூறப்பட்ட எண்களைத் தவிர வேறு இயல் எண்களும் இருக்கின்றன. 2, 4க்கு மேற்பட்ட அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடுகளின் மூலங்களே 1, 2, 3, 4 அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடு களின் மூலங்களின் உருவைப் போன்ற வடிவில் அமைத்து எழுத முடியாது.
10. இயல் முழு எண்கள் : இயல் எண்களின் ஒரு பகுதிக்குச் சுவை மிக்க தன்மைகள் உண்டு. இவை களுக்கு இயல் முழு எண்கள் என்று பெயர் x + a 1 x"' -- ...... என்னும் சமன்பாட்டில் a,..... - a n என்னும் கெழுக்கள் முழு எண்களாக இருந்து, முதல் கெழு (அதாவது x என்பதின் கெழு) ஆகவும் இருந் தால், அப்பொழுது அதன் மூலம் ஒர் இயல் முழு எண் ளுக இருக்கும். எந்த இயல் எண்ணும் ஒர் இயல் முழு எண்ணுக இருக்கலாம், அல்லது, அது தகுந்த ஒர் இயற்கை முழு எண்ணுல் பெருக்கப்பட்டால் ஓர் இயல் முழு எண்ணுக மாறும் என்பது ஒர் உண்மை. இயல் முழு எண்களுக்கு எளிய உதாரணங்கள் : 2, 5, .. ஏனெனில் அவை, முறையே x + 2 = 0, x - 5 = o' x - 3 = 0 என்னும் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களாக இருக்கின்றன; இந்தச் சமன்பாடுகளில் முதல் கெழு 1 ஆகவும், ஏனைய கெழுக்கள் முழு எண்களாகவும் இருக் கின்றன.
11. கவுஸ் கண்ட உண்மை : இயல் முழு எண்க ளாக இல்லாத சில இயல் எண்கள் உண்டு என்பதை விளக்கிக் காட்டக் கவுள் (Gauss) என்னும் பிரபல கணித நிபுணர் ஒர் உண்மையைக் கண்டுபிடித்தார். அதாவது, () என்பது ஒரு பகு எண் என்று வைத்துக் கொள்ளுவோம். அது, x + a_1x" . Ձ ո Հ C) (இதில் a , a , ......a என்ற கெழுக்கள் முழு எண் கள்) என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களிலொன்ருக இருக்கட்டும். அப்பொழுது 0 என்பது ஒரு முழு எண்ணுகவே இருக்கும். எனவே, பகு எண்களுள் முழு எண்கள் மட்டுமே இயல் முழு எண்களாகவும் இருக் கின்றன என்று தெரியவருகிறது. ஆகவே, பகு எண் களுள் பின்னங்களாய் இருப்பவை இயல்முழு எண்கள் அல்ல. m என்ற முழு எண் ஒர் இயல் முழு எண்ணுக வும் இருக்கிறதென்பது சொல்லாமலேயே விளங்கும். ஏனெனில், அது x - m = 0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருக்கிறது. இந்தக் காரணத்திற்காக முழு arora&nd ué, QPQp crowair (Rational integers) என்றும் குறிப்பிடுவது வழக்கம். இயல் முழு எண்களில் சில பகா எண்களாகவும் இருக்கின்றன. . * * *
(, , என்பது ஒர் இயல் முழு எண் Ei என்பதும் 一1士v—3 2 னில் அவைகள், முறையே
என்பதும் இயல் முழு எண்கள். ஏனெ
x*—2=o, x * + 1 = or x" +x +1=o,
எ ன் அ ம் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களாக இருக்
கின்றன).
12. 31603) -ssósthär (Unit numbers): śa,
இயல் முழு எண்களுக்கு அலகு எண்கள் என்று பெயர்.
