கூம்பின் வெட்டுமுகம் 271
அச்சைத் தன்னுள் கொண்டிராவிட்டால், வெட்டு முகம் கூம்பின் உச்சியாகவோ (சிதைந்த நீள் வட்டம்) கூம்பின் தோற்றுவிக்கும் கோடாகவோ (சிதைந்த பரப்பளவு) சிதைகிறது. கூம்பின் அச்சைத் தன்னுள் கொண்டிருந்தால், வெட்டுமுகம் இரண்டு நேர் கோடுகளாகச் (சிதைந்த அதிபரவளைவு) கிறது. சிதை பகு முறை வடிவக் கணித (analytical geometry } வரையறை. கூமபு வளைவின் இயல்புகளை விரிவாகக் சற்க, கிரேக்கர்கள் பயன்படுத்திய தொகுமுறை (synthetic method), பகுமுறை வடிவக் கணிதத்தின் தோற்றத்திற்குப்பின் இயற்கணிதச் செயல்முறை களால் (algebraic procedures) நீக்கப்பட்டது. இம் முறையில் கூம்பு வளைவுகளுக்கும் கூம்பிற்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு தவிர்க்கப்பட்டு, கூம்பு வளைவுகள் xy என்னும் கார்டீஷியன் கூறுகளில் (cartesian coordinates) இரு படிச்சமன்பாடுகளின் வரைபடங்களாகவே கருதப்படுகின்றன. அதாவது பகுமுறை வடிவக் கணிதத்தில் கூம்பு வளைவு புள்ளியின் இயங்குவரையாக (locus) வரையறுக்கட் படுகிறது. ஒரு P என்னும் ஒரு மாறும் புள்ளிக்கும் F என்னும் நிலையான புள்ளிக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவு P க்கும் F வழிச்செல்லாத ஒரு நிலை யான நேர்கோட்டிற்கும் இடையேயுள்ள செங்குத்துத் தொலைவோடு ஒரு நேர்நிலையெண் விகிதத்தைக் (positive constant ratio) கொள்ளுமாயின், P இன் இயங்குவரை கூம்புவளைவு எனப்படும். நிலைப்புள்ளி கூம்பு வளைவில் குவியம் (அ) உயிர்ப்புள்ளி (focus) எனவும், நிலைக்கோடு (அ) உயிர்க்கோடு கூம்பு வளைவின் இயக்குவரை (directrix) எனவும், நிலை யெண் விகிதம் கூம்பு வளைவின் மையவகற்சி எண் (eccentricity) எனவும் குறிப்பிடப்படுகின்றன. (XI. y ) ஐக் கூறுகளாகக் கொண்ட புள்ளியைக் குவியமாகவும், Ax + By+C =0 இயங்குவரையாகவும் எடுத்துக் கொண்டால், கூம்புவளைவின் மேலுள்ள P(x,y) என்னும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் (x-x;}' + (y-y,} (Ax. + By + C)* என்னும் சமன் A* + B³ பாட்டை நிறைவு செய்வதை எளிதில் அறியலாம். எனவே கூம்பு வளைவு ஒவ்வொன்றும் (x,y) என்னும் கார்டீஷியன் கூறுகளில் ஓர் இருபடிச் சமன்பாட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. இச்சமன்பாட்டை விரித்தெழுதி னால் ax' + 2hxy + by* + 2gx + 2fy + c= 0 (1) என்ற அமைப்பில் ஓர் இருபடிச் சமன்பாடு P இன் இயங்குவரையாகும். இக்காரணத்தால் சூம்பு வளைவை இருபடிவரை எனவும் சொல்லலாம். e<1, 1. I என்றால், இருபடிவரை முறையே நீள்வட்டம், பரவளைவு அல்லது அதிபரவளைவு ஆக அமையும். கூம்பின் வெட்டுமுகம் 271 பரவளைவு. = 1 என்றால், மேற்காணும் இரு படி வரையின் சமன்பாடு (1) i 2 (x,-a) + y,' = (x + a)' ;y,* = 4ax; என்றாகிறது. இவ்வளைவரைக்கு X அச்சு ஒரு சமச் சீரச்சாகும். இவ்வச்சு வளைவரையை வெட்டும் புள்ளி (a.0), அதன் உச்சி ஆகும். அச்சுக்குச் செங் குத்தாகவும் நீளம் 48 ஆகவும் உள்ள குவிய நாணுக்குச் செவ்வகலம் அல்லது நேரகலம் (latus rectum) என்று பெயர். (a, 0) என்னும் புள்ளியைக் குலியமாகவும் x + a = 0 என்னும் நேர்கோட்டை இயங்குவரையாகவும் எடுத்துக்கொண்டால் கிடைக் கும்y? 4ax என்னும் சமன்பாடு பரவளைவின் நியமச் சமன்பாடு ஆகும் (படம் 5). M ZAS N படம் 5.பரவளைவு S. குவிமையம் : LL' செவ்வகலம் X = ay' + by + c, y ax² + bx + c, (ax0) ஆகிய இருபடிச்சமன்பாடுகள் முறையே y அச்சுக்கும் x அச்சுக்கும் செங்குத்தான கோடுகளை அச்சுகளாகக் கொண்ட பரவளைவுகளைக் குறிக்கும். பொதுவாக ab-h² = 0 என்றால், ax + 2hxy + by + 2gx + 2fy + c 0 என்னும் சுருக்கவியலா இருபடிச் சமன்பாடு (irreducible quadratic) ஒரு பரவளைவைக் குறிக்கிறது. இச்சமன்பாட்டின் தன்மைகாட்டி (discriminant) abc + 2fgb af* bg" பூஜ்யத்திற்குச் சமமாகாதலால் வியலாதது எனப்படுகிறது. ch³ து சுருக்க
