இயல் எண்கள்
10
இயல் எண்கள்
தாக இருந்தால், அதை ஓர் எண் களம் என்பதுண்டு. உதாரணமாகப் பகு எண்களெல்லாம் ஓர் எண் களம் ஆகின்றன (ஆகையால் அவை ஓர் எண் வலயமாகவும் இருக்கின்றன). ஆனால் முழு எண்கள் ஓர் எண் வலயமாக மட்டும் இருக்கின்றன; அவை ஓர் எண் களமாக இல்லை.
P (θ), Q (θ) என்பவை θ வைக் கொண்ட பகு பல்லுறுப்பிகள் (Polynomials in θ with rational co-efficients) என்று வைத்துக்கொள்ளுவோம். அப்பொழுது P(θ)/Q(θ) என்னும் உருவில் உன்ள எல்லா எண்களாலாகிய தொகுதியை K (θ) என்று குறிப்பிடுவது ஒரு கணித மரபு.
θ என்பது சுன்னமாக இல்லாவிட்டால், K (θ) என்பதில் 1 என்னும் எண் (அதாவது θ θ) அடங்கி யிருக்கும். இதனுடன் எல்லாப் பகு எண்களும் அதில் உள்ளனவாகவும் இருக்கும். K (θ) என்னும் களத்தில் θ என்னும் எண்ணும் அடங்கியிருக்கிறது. θ என்பது பகு எண்ணாக இருந்தால் K (θ) என்பது பகு எண்களின் தொகுதியே.
θ என்பது m அடுக்குள்ள ஒரு இயல் எண்ணாக இருந்தால், அப்பொழுது K (θ) என்பதில், பகு எண்களும், மற்றும் θ வைக் கொண்டதும் m-1 என்பதைவிட அதிகமானதில்லாத அடுக்காயும் உள்ள பகுதித் தொடர்களின் மதிப்பாயுள்ள எண்கள் மாத்திரமே இருக்கும் என்று நிரூபிக்க முடியும். அந்த K (6) விலுள்ள முழு இயல் எண்களின் தொகுதி ஓர் எண் வலயமாக இருக்கும் என்பதை எளிதில் நிரூபிக்கலாம்.
17. எண் களத்தின் பிரதம எண்கள்: θ என்பது ஓர் இயல் எண்ணாக இருந்து, θ≠0 ஆகவும் இருப்பின், அப்பொழுது K (θ) என்பதில் ஓர் இயல் முழு எண்களின் வலயம் அடங்கியிருக்கும். இதற்கு எல்லாவற்றையும்விட எளிய உதாரணமான K (1) என்பதை எடுத்துக்கொண்டால், அதில் இருக்கும் இயல் முழு எண்கள் எல்லாம் முழு எண்களாகவே இருப்பதைக் காணலாம். இந்த எண் களத்தின் அலகு எண்கள் 1ம், —1ம் ஓர் எண் களத்திலிருக்கும் இரண்டு முழு எண்களுக்கிடையே உள்ள விகிதம் அக்களத்தின் அலகு எண்ணாக இருந்தால், அவ்விரு முழு எண்களும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவையாக (Equivalent) இருக்கின்றன என்று சொல்லுவது கணித மரபு. எனவே, K (1) என்பதில் அடங்கியிருக்கும் இரு முழு எண்களாகிய 10, —10 என்பவை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவை என்பது எளிதில் அறியக் கிடக்கிறது. ஏனெனில் அவைகளின் விகிதமாகிய — 1 என்பது, அக் களத்தின் அலகு எண்களுள் (அதாவது 1, —1 என்பவை) ஒன்று.
K (1) -ல் உள்ள சில முழு எண்களுக்குப் பிரதம எண்கள் (Prime numbers) என்று பெயர். அவைகளின் தன்மை வருமாறு:
P என்னும் ஒரு முழு எண் பிரதம எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால், அது அடங்கி யிருக்கும் களத்தின் அலகு எண்களினாலும், தன்னாலும், தனக்கு ஒத்த எண்களினாலும் மாத்திரமே வகுக்கப்படும்படியாக இருக்க வேண்டும்; வேறு எந்த எண்ணும் அதை வகுக்க இயலாமல் இருக்க வேண்டும்; மேலும் அது ஓர் அவகு எண்ணாக இருக்கக்கூடாது.(a என்னும் முழு எண்ணை b என்னும் முழு எண்ணால் வகுக்க முடியும் என்றால் அதற்குப் பொருள்: a/b என்பது ஒரு முழு எண் என்பதே), உதாரணம்:
2, —2, 3, —3, 5, —5, 7, —7, 11, —11..... முதலியவை K(1) என்பதில் உள்ள பிரதம எண்கள்.
18. அடிப்படை உண்மை அல்லது ஒரே முறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் (Unique Factorisation Theorem) : முழு எண்களின் தன்மைகள் (Theory of numbers) என்னும் கணிதவியற் பகுதியில் ஒரு முக்கியமான உண்மை இருக்கிறது. அதற்கு அடிப்படைத் தேற்றம் (Fundamental Theorem) என்று பெயர். இப் பகுதியில் வரும் பல விடைகளைப் பெறுவதற்கு இதைப் பிரயோகிப்பது இன்றியமையாததாயிருக்கிறது. இந்த முக்கியமான உண்மைக்கு ஒரேமுறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் என்றும் பெயர்.
n என்பது ஒரு முழு எண்ணாக இருந்து, அது சுன்னமாகவோ. 1, —1 ஆகவோ இல்லாதிருந்தால், அப்பொழுது அந்த n என்னும் எண், தானே ஒரு பிரதம எண்ணாகவோ, அல்லது சில பிரதம எண்கள் பெருக்கி வந்த விடையாகவோ இருக்கும். . ஒரே முறைப் பாகுபாட்டுத் தேற்றம் பின்வருமாறு: n என்னும் ஓர் எண்ணை எடுத்துக் கொள்ளுவோம். (ஆனால் அது n≠o, n≠±, n≠ ஒரு மூல எண் என்றிருக்க வேண்டும்). அப்பொழுது அதைப் பல பிரதம காரணி (Prime factors) களாகப்பிரிப்பதென்பது முக்கியமான ஒரு வழியில்தான் முடியும். அப்படி அதைப் பிரிக்க இயலும் ஏனைய வழிகள், அந்த முக்கியமான வழியில் வரும் பிரதம காரணிகளின் வரிசைக் கிரமத்தை மாற்றுபவையாக இருக்கக்கூடும்; மேலும், அக்காரணிகளுடன் ஒத்தவையாயிருக்கின்ற வேறு காரணிகளைக் கொண்டவையாக இருக்கலாம். உதாரணம்: 6 = 2X3 = —2x —3 = 3 X 2= 3X —3x —2. மேலெழுந்த வாரியாக நோக்குகையில் இவை நான்கு வெவ்வேறு வழிகள் போல் இருப்பினும், உண்மையில் இவையெல்லாம் ஒன்றோடொன்று ஒத்தவையாயிருப்பவையே. உதாரணம் :
360 = 2X2X2X3×3X5. இதுதான் 360-ஐ மூல காரணிகளாகப் பிரிப்பதற்கு உள்ள ஒரே வழி.
K (θ)விலுள்ள இயல் முழு எண்களை இப்பொழுது எடுத்துக்கொள்ளுவோம். (இதில் θவும் ஓர் இயல் எண்ணாக இருக்கவேண்டும்). θ =i ஆக இருந்து, a, b என்பவை பகு எண்களாய் இருந்தால், அப்பொழுது K (i)-ல் a+bi என்னும் வடிவில் உள்ள எல்லா எண்கள் மாத்திரமே அடங்கியிருக்கும் என்னும் உண்மையை நிரூபிப்பது கடினமில்லை. aயும் bயும் முழு எண்களாக (அதாவது பின்னங்களாக இல்லாமல்) இருந்தால், அது K (i) என்பதிலுள்ள இயல் முழு எண்கள் என்பதையும் K (i)யிலுள்ள முழு எண்கள் யாவும் அத்தகையனவே என்பதையும் நிரூபிக்கலாம். K (i) என்பதின் அலகு எண்கள் 1, —1, 1, —i என்பவை. 2= (1+i) (1—i) ஆகையால் 2 என்பது K (i)-ல் உள்ள பிரதம எண்களுள் ஒன்றல்ல; ஆனால், 3, 7, 11 என்பவையும், இவைகளைப் போன்ற வேறு பல எண்களும் K (1)-ல் பிரதம எண்களாக இருப்பது போலவே K(i)யிலும் பிரதம எண்களாக இருக்கின்றன. 5, 13, 17 என்பவையும், அவைகளைப் போன்ற வேறு பல எண்களும், K (i)-ல் பிரதம எண்களாக இல்லை. ஏனெனில்,
5 = (2 + i) (2 — i);
13 = (3+2i) (3 — 2i);
17 = (4+i) (4 + i).
ஓர் இயற்கை முழு எண்ணானது K (])-ல் உள்ள ஒரு பிரதம எண்ணாக இருந்து, 4m +3 என்னும் உருவில் இருந்தால், அது K (i)-ல் உள்ள பிரதம எண்களுள் ஒன்றாகவும் இருக்கும். இம்மாதிரி எண்கள்:
3, 7, 11, 19, 23, 31....
