பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/27

இயல் எண்கள்

9

இயல் எண்கள்

θ, l θ என்பவை இரண்டும் இயல் முழு எண்களாக இருந்தால். அப்பொழுது θ என்பது ஓர் அலகு எண் ணாகவிருக்கும். மேலும், θ என்பது அலகு எண்ணாக இருந்தால்,

என்பவை எல்லாம் அலகு எண்களாகவே இருக்கும்.

இரண்டு அலகு எண்களைப் பெருக்கிவரும் விடையும் ஓர் அலகு எண்ணாக இருக்கும்.

1, —1, i, √2± 1 எல்லாம் அலகு எண்களே, இவைகளுள் 1+√₂ என்பது x²+2x—1=0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருத்தலாலும், இவை இரண்டும் (அதாவது √2+1. 1/√2+1 என்பவை) அலகு எண்கள் ஆகின்றன.

2 என்னும் எண் ஓர் அலகு எண் அல்ல; ஏனெனில் 2 என்பது இயல் முழு எண்ணாக இருந்தபோதிலும், 1/2 என்பது கவுஸ் என்பவர் நிரூபித்தபடி இயல் முழு எண்ணாக இல்லை.

13. எண் வலயம (Ring of numbers) : a, b என்னும் இரண்டு இயல் முழு எண்களிலிருந்து கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் என்பனவற்றால் வரும் a + b, a-b, ab என்னும் எண்களும் இயல் முழு எண்களே என்று நிரூபிக்கலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்களின் தொகுதியில் உள்ள x, y என்னும் எண்கள் எந்த இரண்டு எண்களாக இருந்தாலும், x + y, x - y, xy என்னும் எண்களும் அத்தொகுதியில் அடங்கியிருந்தால், அத் தொகுதிக்கு எண் வலயம் என்று பெயர். உதாரணமாக, அடியிற் கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் இரட்டைப்படை முழு எண்களின் தொகுதி ஓர் எண் வலயம் :

0, 2, —2, —4, 4, 6, —6, 8. —8.........என்பவை, இயல் முழு எண்களின் தொகுதியும் ஓர் எண் வலயமே.

14. ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பி: வரையறைக்குட்பட்ட ஒரு சில கெழுக்களே (Restricted coefficients) அடங்கியுள்ள பல்லுறுப்பிகளை எடுத்துக்கொள்ளுவோம். உதாரணமாக, கெழுக்கள் எல்லாம் பகு எண்களாகவே இருக்கும் பல்லுறுப்பிகளை எடுத்துக் கொள்ளுவோம். இவைகளுக்குப் பகுபல்லுறுப்பிகள் (Rational polynomials) என்று பெயரிடலாம். p (x) என்பது ஒரு பகு பல்லுறுப்பியாக இருக்கட்டும். அது வேறு இரண்டு பகு பல்லுறுப்பிகளை ஒன்றோடொன்று பெருக்கி வரும் விடையாக இராது என்றும் வைத்துக்கொள்ளுவோம். இங்கு அந்த இரண்டு பகு பல்லுறுப்பி ஒவ்வொன்றிலும் X-ன் அடுக்கு 1க்குக் குறையாத மதிப்புள்ளதாக (அதாவது x-ன் அடுக்குச் சுன்னமாக இல்லையென்று) வைத்துக் கொள்ளவேண்டும். அப்பொழுது, P (x) என்னும் பல்லுறுப்பியை ஒடுக்கொணாப் பகு பல்லுறுப்பி (Itreducible rational polynomial} என்று சொல்லுகிறோம். இதையே சுருக்கமாக ஒடுக் கொணாப் பல்லுறுப்பி என்றும் இக் கட்டுரையில் குறிக்கிறோம். உதாரணமாக:

x²-2 என்பது ஓர் ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பி. ஆனால் x²-1 என்பது ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பி அன்று, ஏனெனில்,

x²—2= (x-${\sqrt {2}}\,\!$) (x + ${\sqrt {2}}\,\!$) ; இதில் ${\sqrt {2}}\,\!$ என்பது ஒரு பகு எண் இல்லை. ஆதலால், (x - ${\sqrt {2}}\,\!$), (x + ${\sqrt {2}}\,\!$) என்பவைகளின் கெழுக்கள் பகு எண்களாக இருக்க வில்லை இதைப் போலல்லாமல், x²-1 என்பது (x + 1) (x-1) என்பதற்குச் சமமாக இருக்கிறது; (x+1), (x-1) என்பவைகளில் உள்ள கெழுக்கள் பகு எண்களாக இருக்கின்றன.

Iக்குக்- குறையாத அடுக்கு உள்ள எந்தப் பகு பல்லுறுப்பியும் ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பியாகவோ அல்லது, இரண்டோ அல்லது அவைகட்கு மேற்பட்டோ உள்ள ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பிகளைப் பெருக்கி வரும் விடையாகவோ இருக்கும். உதாரரணம்:

x-2 என்பது ஓர் ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பி.

15. இணை அல்லது பரஸ்பர எண்கள் : P (x) என்பது ஓர் ஒடுக்கொணாப் பல்லுறுப்பியாக இருந்து, a₁, a₂, d₃......d₄. என்பவை P(x) =0, என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களாக இருந்தால், அப்பொழுது a₁, a₂, a₃... என்பவைகளுள் எந்த இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணை அல்லது பரஸ்பர எண்களா யிருக்கின்றன (Conjugate of one another) என்று சொல்வது வழக்கம் ; a₁, a₂......a_n என்ற எல்லாவற்றையும் எடுத்துக் கொண்டால் அவை இப் பரஸ்பர எண்களின் ஒரு முழுத் தொகுதியாகவும் (Complete set of conjugates) இருக்கும். இவைகளுள் எந்த எண்ணுக்கும் (a₁, a₂.... இவை தவிர வேறு பரஸ்பர எண் கிடையாது.

Q (x) என்பது ஒரு பகு பல்லுறுப்பியாக இருந்து, a என்பது, Q (x) =0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருப்பின், அப்பொழுது அச்சமன்பாட்டின் மூலங்களுள் பவின் பரஸ்பர எண்கள் அனைத்தும் அடங்கியிருக்கும்.

நியூட்டன் என்னும் அறிஞர் கண்டுபிடித்த ஓர் உண்மையிலிருந்து அடியிற் கொடுத்திருக்கும் விடை புலப்படுகிறது. அதாவது: . a, என்பது ஓர் இயல் முழு எண்ணாக இருந்து, a₁ a₂....a_n என்பவை பரஸ்பர எண்களின் ஒரு முழுத் தொகுதியாக இருந்து, m என்பது 1, 2, 3...... என்பனவாக இருந்தால், அப்பொழுது,

a₁m+a₂m+a₃m....a_nm என்பதன் மதிப்பு ஒரு முழு எண். இதற்கு அடியிற்கண்டது ஒரு சுலபமான உதாரணம்:

m என்பது 1,2,3.... என்பனவாக இருந்தால், (2+√2)^m=+(2- √2)^m என்பது ஒரு முழு எண். 2- √2 என்பது 1 என்பதைவிடக் குறைந்த தனி மதிப்பையுடைய (Absolute value) எண். ஆகையால் (2+${\sqrt {3}}\,\!$)^m என்பது ஏறக்குறைய ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்.

a₁ என்பது ஓர் இயல் முழு எண்ணாக இருந்து, a₂, a₃......d_n என்பவையெல்லாம் தம் தனி மதிப்பில் 1க்குக் குறைந்தவையாய் இருந்தால், அப்பொழுது, a^m என்பதற்கும், மிக அருகில் தோன்றும் முழு எண்ணிற்கும் இடையே இருக்கும் வேறுபாடு, m என்பது மதிப்பில் பெரிது ஆக ஆகச் சுன்னத்தை அணுகும். இதில் a₁ என்பது 1 -ஐ விட அதிகமான தனி மதிப்புள்ளதாக இருந்தே தீரும். இத்தகைய இயல் முழு எண்களுக்குச் சில சுவைமிக்க தன்மைகள் இருக்கின் றன. (a₁ என்பதைப்போன்ற எண்களைப் பிசோ- விஜயராகவன் (Pisot Vijayaraghavan Numbers) எண்கள் என்று கூறுவதும் உண்டு. இப்பெயரில் குறிப்பிடப்பட்ட பிசோ என்பவர் ஒரு பிரெஞ்சுக் கணித ஆராய்ச்சியாளர்.

16. எண் களம் (Field) : ஓர் எண் தொகுதி யானது கழித்தலுக்கும் (எனவே, கூட்டலுக்கும்),

வகுத்தலுக்கும் (எனவே, பெருக்கலுக்கும்) போதுமான-

2