பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/26

இயல் எண்கள்

8

இயல் எண்கள்

8. மூன்று முக்கியமான உண்மைகள் : ${\sqrt {2}}\,\!$ என்பது ஒரு யூக்ளிடு எண்ணா, இல்லையா என்பது கணிதவியலில் ஒரு பெரிய பிரச்சினையாக இருந்தது. இது பல நூற்றாண்டுகளாக நிபுணர்களால் ஆராயப்பட்டு வந்தது. சென்ற நூறு ஆண்டுகளுக்குள்தான் இது யூக்ளிடு எண் இல்லை என்பது தெரியவந்தது.

இதே மாதிரியே π என்னும் வட்ட - விட்ட விகிதம் யூக்ளிடு எண் இல்லை என்பதும் சென்ற நூறு ஆண்டுகளுக்குள் தான் அறியப்பட்டது.

இவைகளைப் போலவே சில கோணங்களைத் தவிர, பொதுவாகக் கோணங்களை 3 சமபாகமாகப் பிரிப்பது என்பது இயலாது என்னும் உண்மையும் சென்ற நூறு ஆண்டுகளுக்குள் தான் நிரூபிக்கப்பட்டது. இவ் விஷயம் யூக்ளிடு எண்களுடன் தொடர்புள்ளது.

யூக்ளிடு எண்கள் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், வருக்கமூலம் எடுத்தல் என்னும் ஐந்து வினைகளுக்கும் போதுமானவையாக இருக்கின்றன. இவற்றைப் போலவே, கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், எல்லா அடுக்குக்களின் மூலங்களையும் எடுத்தல் என்பனவற்றிற்குப் போதுமான தொகுதிகளையும் கருதலாம். யூக்ளிடு எண்களில் வருக்கமூலம் மட்டுமே வரும்; இத்தொகுதிகளில் எல்லா அடுக்குக்களின் மூலங்களும் வரும். உதாரணம்:

கடைசியாகக் கூறப்பட்ட தொகுதியில் அதற்குமுன் நாம் ஆராய்ந்திருக்கும் தொகுதிகளெல்லாம் அதாவது, இயற்கை முழு எண்கள், முழு எண்கள், பகு எண்கள், யூக்ளிடு எண்கள் அடங்கி யிருக்கின்றன. இவை எல்லாம் இயல் எண்களே என்பது a, β என்பவை இயல் எண்களாய் இருந்தால், a+β, a—β, aβ, ${\tfrac {a}{B}}$, √a, √a, ${\sqrt {a}}\,\!$ என்பனவும் இயல் எண்களே என்னும் உண்மையிலிருந்து எளிதில் புலப்படும்.

9. வருக்கம், கனம், நான்காவது அடுக்கு அடங்கியவையும், இயற்கை முழு எண்களைக் கெழுக்களாகக் கொண்டவையுமான சமன்பாடுகளை இப்பொழுது கருதுவோம். இவைகளின் மூலங்கள் இயல் எண்கள். ஏனெனில் இயல் எண்கள் இத்தகைய சமன்பாடுகளின் மூலங்கள் என்று நாம் ஏற்கெனவே சொல்லியிருக்கிறோம். இச் சமன்பாட்டின் அடுக்கு ஒன்றாய் இருந்தால் (அதாவது ax + b=o, a≠0, என்னும் சமன்பாடு) அதன் மூலம் ஒரு பகு எண் ஆகும். இந்தச் சமன்பாடு 2ஆம் அடுக்காக (அதாவது வருக்கமாக) இருந்தால் அதன் மூலம் யூக்ளிடு எண்கள் போன்ற ஒரு பகுதியாக இருக்கும். உதாரணம்:

என்னும் எண்.

இதைப்போலவே 3, 4 என்னும் அடுக்குக்களின் மூலங்களைப் பெறலாம். இந்த மாதிரியே 4க்கு மேற்பட்ட அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடுகளுக்கும் மூலங்களைப் பெற முடியுமா என்பது முக்கியமான பிரச்சினையாக இருந்தது. பல நூற்றாண்டுகளாகக் கணித நிபுணர்களின் ஆராய்ச்சிக்கு இலக்காக இது இருந்துவந்தது. இது இயலாது என்ற விடைதான் இக் கேள்விக்குக் கடைசியாகக் கிடைத்தது. ஏனெனில் 5ஆம் அடுக்குக்கள் அடங்கிய சில சமன்பாடுகளுக்குக் கிடைக்கும் மூலம் இதுவரை நாம் கடைசியாகக் கருதியிருக்கும் எண்களில் அடங்காமல் இருக்கிறது. இதிலிருந்து நமக்கு இரண்டு புதிய உண்மைகள் கிடைக்கின்றன. 1.கடைசியாகக் கூறப்பட்ட எண்களைத் தவிர வேறு இயல் எண்களும் இருக்கின்றன. 2. 4க்கு மேற்பட்ட அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடுகளின் மூலங்களை 1, 2, 3, 4 அடுக்குக்கள் உள்ள சமன்பாடுகளின் மூலங்களின் உருவைப் போன்ற வடிவில் அமைத்து எழுத முடியாது.

10. இயல் முழு எண்கள் : இயல் எண்களின் ஒரு பகுதிக்குச் சுவை மிக்க தன்மைகள் உண்டு. இவைகளுக்கு இயல் முழு எண்கள் என்று பெயர். x_n+a₁x^u-1+..... என்னும் சமன்பாட்டில் a₁..... a_n என்னும் கெழுக்கள் முழு எண்களாக இருந்து, முதல் கெழு (அதாவது Xⁿ என்பதின் கெழு) 1 ஆகவும் இருந்தால், அப்பொழுது அதன் மூலம் ஓர் இயல் முழு எண்ணாக இருக்கும். எந்த இயல் எண்ணும் ஓர் இயல் முழு எண்ணாக இருக்கலாம், அல்லது, அது தகுந்த ஓர் இயற்கை முழு எண்ணால் பெருக்கப்பட்டால் ஓர் இயல் முழு எண்ணாக மாறும் என்பது ஓர் உண்மை. இயல் முழு எண்களுக்கு எளிய உதாரணங்கள்: 2,5, ${\sqrt {3}}\,\!$ ஏனெனில் அவை, முறையே x +2= 0, x—5=o' x^R— 3=0 என்னும் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களாக இருக்கின்றன; இந்தச் சமன்பாடுகளில் முதல் கெழு 1 ஆகவும், ஏனைய கெழுக்கள் முழு எண்களாகவும் இருக்கின்றன.

11. கவுஸ் கண்ட உண்மை: இயல் முழு எண்களாக இல்லாத சில இயல் எண்கள் உண்டு என்பதை விளக்கிக் காட்டக் கவுஸ் (Gauss) என்னும் பிரபல கணித நிபுணர் ஓர் உண்மையைக் கண்டுபிடித்தார். அதாவது, θ என்பது ஒரு பகு எண் என்று வைத்துக் கொள்ளுவோம். அது, ×ⁿ+a₁x^n-1+........a_n=0 (இதில் a₁, a₂..... a_n என்ற கெழுக்கள் முழு எண்கள்) என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களிலொன்றாக இருக்கட்டும். அப்பொழுது θ என்பது ஒரு முழு எண்ணாகவே இருக்கும். எனவே, பகு எண்களுள் முழு எண்கள் மட்டுமே இயல் முழு எண்களாகவும் இருக்கின்றன என்று தெரியவருகிறது. ஆகவே, பகு எண்களுள் பின்னங்களாய் இருப்பவை இயல் முழு எண்கள் அல்ல. m என்ற முழு எண் ஓர் இயல் முழு எண்ணாகவும் இருக்கிறதென்பது சொல்லாமலேயே விளங்கும். ஏனெனில், அது x — m = 0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருக்கிறது. இந்தக் காரணத்திற்காக முழு எண்களைப் பகு முழு எண்கள் (Rational integers) என்றும் குறிப்பிடுவது வழக்கம். இயல் முழு எண்களில் சில பகா எண்களாகவும் இருக்கின்றன.

(${\sqrt {2}}\,\!$ என்பது ஓர் இயல் முழு எண் : ±i என்பதும்

x²—2=0,
x²+1=0,
x²+x+1=0,

என்னும் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களாக இருக்கின்றன).

12. அலகு எண்கள் (Unit numbers) : சில இயல் முழு எண்களுக்கு அலகு எண்கள் என்று பெயர்.