பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/25

இயல் எண்கள்

7

இயல் எண்கள்

களுக்கு இயற்கை முழு எண்கள் போதுமானவையா யிருக்கின்றன என்று சுருக்கமாகச் சொல்லலாம்.

3. முழு எண்கள்: ஆனால் ஓர் இயற்கை முழு எண்ணிலிருந்து மற்றோர் இயற்கை முழு எண்ணைக் கழித்தால் வரும் எண் மட்டும் எப்பொழுதும் ஓர் இயற்கை முழு எண்ணாக இருக்கும் என்று சொல்ல முடியாது.

உதாரணம்:
3—2=1 (ஓர் இயற்கை முழு எண்); 3—3=0; 3—5=—2..... எனவே, கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் போதுமானவையா யிருக்கும். இவ் வியற்கை முழு எண்கள் கழித்தலுக்குப் போதுமானவையாக இல்லை என்னும் உண்மை கிடைக்கிறது. ஆனால் முழு எண்களோ வெனில், கூட்டல், பெருக்கல், கழித்தல் ஆகிய மூன்றிற்கும் போதுமானவையாக விருக்கின்றன. எனினும். வகுத்தலுக்கு இம் முழு எண்கள்கூடப் போதுமானவையாக இல்லை. . 4. பகு எண்கள் : சுன்னத்திற்கு மேற்பட்ட பகு எண்களை (Positive rational numbers) மட்டும் எடுத்துக் கொண்டால், இவை கூட்டல், பெருக்கல், வகுத்தல், இம் மூன்றிற்கும் போதுமானவையாக இருக்கின்றன; கழித்தலுக்கு இவை போதுமானவையாக இல்லை. ஆனால் பகு எண்கள் என்னும் தொகுதி முழுவதையும் எடுத்துக் கொண்டால் இவை கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் வகுத்தல் என்னும் நான்கிற்கும் போதுமானவையாயிருக்கின்றன. கணிதத்தில், சுன்னத்தினால் ஓர் எண்ணை வகுக்கும் வழக்கமில்லை.

குறிப்பு: எந்த இனமாவது கழித்தலுக்குப் போதுமானதாக இருந்தால் அந்த இனம் கூட்டலுக்கும் போதுமானதாக இருக்கும். அதேமாதிரியே, ஓர் இனம் வகுத்தலுக்குப் போதுமானதாக இருந்தால் அது பெருக்கலுக்கும் போதுமானதாக இருந்தே தீரும். இவ்விரு உண்மைகளையும் எளியில் நிருபணம் செய்யலாம்.

முதன் முதலில் பகு எண்களில் எல்லா எண்களும் அடங்கியுள்ளன என்று தோன்றும். ஆனால் ஆழ்ந்து யோசித்தால் இது சரியல்ல என்று புலப்படும். உதாரணமாக ஓர் இரு சமபக்கச் செங்கோண முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள் 1 என்றால், அதன் கரணத்தின் நீளம் √2 என்பது. ஆனால் எந்தப் பகு எண்களின் சதுரமும் 2 ஆக இருக்க முடியாது என்று காட்ட முடியும். எனவே பகு எண்களைத் தவிர வேறு எண்களும் உண்டு என்றே கொள்ளவேண்டி வருகிறது. இந்த √2 என்பது பகா அல்லது விகிதமுறா (Irrational) எண்களின் இனத்தைச் சேர்ந்தது.

5. அடியிற்கண்ட சமன்பாட்டை எடுத்க் கொள்வோம்: a_o xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2 ......+a_n =0,a₀≠0. இத்தகைய சமன்பாடு ஒன்றிற்கு மூலங்கள் (Roots) இருந்தே தீரும். அம் மூலங்களின் எண்ணிக்கை n என்று அறிவோம். இந்த மூலங்களில் சில ஒன்றோடொன்று சமமாயிருக்கலாம். இவைகளில் சில கற்பனை அல்லது கலப்பு (Non-real or Complex) எண்களாகவும் இருக்கலாம்.

6. இயல் எண்களில் சிவ பகு எண்கள்; சில பகா எண்கள்; வேறு சில எண்கள் இவ்விரண்டிலும் அடங்காத கற்பனை அல்லது கலப்பு எண்கள்.

a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2 ...a_n=a_n=0, a₀≠0. என்னும் சமன்பாட்டில் a₀, a₁, a₂... a_n என்பவை முழு எண்களாக இருந்தால், அதன் மூலங்களை இயல் எண்கள் என்று கூறுகிறோம். பகு எண்கள் எல்லாம் இயல் எண்களே. ஏனெனில், a/b என்னும் பகு எண் bx—a=0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாய் இருக்கிறது. சற்று முன்பு கூறிய √2 என்னும் எண்ணும் ஓர் இயல் எண்ணே, ஏனென்றால், அது x²—2 = 0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலமாக இருக்கிறது.

இயல் எண்கள் பகு எண்களைப் போலவே கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் என்பனவற்றிற்குப் போதுமானவையாக இருக்கின்றன.அதனுடன், a என்பது ஓர் இயல் எண்ணாசு இருந்தால்,

${\sqrt {a,}}{\sqrt[{3}]{a,}}{\sqrt[{4}]{a,}}......{\sqrt[{n}]{a,}}......$

என்னும் எண்களும் இயல் எண்களாகவே இருக்கும். அந்த உண்மையை அடியிற் கண்டபடியும் கூறலாம்: a என்பது இயல் எண்ணாக இருந்தால்,×ⁿ—a =0 என்னும் சமன்பாட்டின் மூலங்களும் இயல் எண்களாகவே இருக்கும்.

மேலே குறிப்பிட்ட,
a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2...a_n=0₁ a_o≠0₁ என்னும் சமன்பாட்டில் a₀, 2₁, a₂x^n-2.....a_n = 0₁ a ₀ என்னும் கெழுக்கள் முழு எண்கள் என்று வைத்துக் கொண்டோம். அப்படியின்றி, இக் கெழுக்களும் இயல் எண்களாக விருக்கும் a₀x^u+a₁x^n-1+a₃x^u-2...+ a_u=O, a0≠0, (இங்கு a₀, a₁,a₂....a_n என்பவை இயல் எண்கள்) என்னும் சமன்பாடு ஒன்றை எடுத்துக் கொள்ளுவோம். [உதாரணம்: ${\sqrt {2}}\,\!$ — (${\sqrt {5}}\,\!$+${\sqrt {7}}\,\!$)x²—10=0]. அதன் மூலங்களும் இயல் எண்களாகவே இருந்து தீரும். எனவே, இதிலிருந்து சமன்பாடுகளின் கெழுக்கள் இயல் எண்களாக இருந்தால் அச்சமன்பாடுகளின் மூலங்களும் இயல் எண்களாகவே இருக்கும் என்று புலப்படுகிறது. இவ்வுண்மையை இயல் எண்கள் இயல் பிணைகளுக்குப் (Algebraic operations) போதுமானவையாக இருக்கின்றன என்று சுருக்கிச் சொல்லுவது வழக்கம். பகு எண்கள் இயல்பிணைகளுக்குப் போதுமானவையாக இல்லை என்பதை முன்னமேயே குறித்திருக்கிறோம்.

7. யூக்ளிடு எண்கள்: இயல் எண்களின் பகுதி இப்பெயர் பெறும். முழு எண்களைக் கொண்டும், +, —, x, ÷, ${\sqrt {}}\,\!$, ஆகிய ஐந்துவிதக் குறிகளைக் கொண்டும் நிறுவப்படும் எண்கள் யூக்ளிடு எண்கள்: ஆனால், இந்த ஐந்து குறிகளுள் எதுவும் அனந்தமான (Infinite) தடவைகள் வரக்கூடாது.

தவிர, வருக்க மூலக் குறி (${\sqrt {}}\,\!$ ) வரும்போதெல்லாம் அதற்குள் இருக்கும் எண் சுன்னத்திற்குக் குறைந்த மதிப்பு உள்ளதாக இருக்கக்கூடாது.

உதாரணமாகப் பின்வருவது ஒரு யூக்ளிடு எண் :

ஒரு குறிப்பிட்ட நேர்க்கோட்டின் நீளம் a என்று வைத்துக்கொள்ளுவோம். ${\tfrac {b}{a}}$ என்பது ஒரு யூக்ளிடு எண்ணாக இருந்தால் b என்ற நீளமுள்ள கோடு ஒன்றை அளவுகோல் (Ruler), கம்பசு (Compass) ஆகிய கருவிகளால் வரைந்து காட்ட முடியும். யூக்ளிடு எழுதிய கணித நூலில் அளவுகோல், கம்பசு ஆகிய

இரண்டு கருவிகளை மாத்திரம் குறிப்பிட்டிருப்பதுபற்றி இந்த எண்களுக்கு யூக்ளிடு எண்கள் என்று பெயர். இம்மாதிரி அளவுகோல், கம்பசு ஆகியவைகளை வைத்துக்கொண்டு யூக்ளிடு எண்களைத் தவிர வேறு எந்த விகிதத்தையும் வரைந்துகாட்ட இயலாது.