இயற் கணிதம்
19
இயற் கணிதம்
னெட்டு" என்று கூறலாம். இயற்கணித முறையில், இளையவன் வயது X என்றால், கொடுத்த நிபந தனைகளின்படி
x+ (x + 4) = 40
2x +4 = 40
2x = 40 — 4 = 36
X = = 18
என்று சொற்களின்றிச் சுருக்கமாக விடையைக் காணலாம். இப்படி +, -, X, ÷ எனும் பிணைக் குறிக்ளால் இணைக்கப்பட்ட எழுத்துக் குறிகள், எண் குறிகள் இவற்றாலான பல்லுறுப்பிகள் இரண்டின் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் வழியைக் காண்பது இயற்கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய அமிசமாகும் (பார்க்க: சமன்பாடுகள் - சமன்பாடுகளின் தீர்வு). ×+4 =3 என்றும்,
2x +3=2, x.x = 2 என்றும் உள்ள சமன்பாடுகளில்
x-ன் மதிப்புக்காண வேண்டுமானால் முறையே ரிண, எண்களையும், பின்னங்களையும், பின்னங்களில்லா வாஸ்தவ எண்களையும் கொண்டே மதிப்புக் காணலாம். ஆதலால் இத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் காண
எண்வகைகளை மேலும் மேலும் பெருக்கிக் கொண்டு போக வேண்டியிருக்கிறது. இத்தகைய
எண் வகைகளின் கூட்டல், பெருக்கல் முதலிய பிணைகளையும், சமன்பாடு, சமனின்மை என்ற உறவுகளையும் நிறுவுதலும் இயற்கணிதத்தில் ஒரு பாகமாகும்.
(தன) முழு எண் எதையும் பிரதம எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக (ஒரே ஒரு விதத்தில்) அடைய முடியும் என்பது எண்கணிதத்தில் காணும் தேற்றங்களில் ஒன்று. (உம். 34=2×17, 70=2X5X7 120=2X2×2×3× 5). இத்தகைய தேற்றப் பயனையும், இதனையொத்த தேற்றங்களை வேறு சில இயற் கணித அமைப்புக்களில் நிறுவுதலும் நவீன இயற் கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய பாகமாகும்.
2. வடிவகணிதமும் இயற்கணிதமும்: வடிவ கணிதம் (Geometry) பயிலும்போது இயற்கணித முறைகளைக் கையாளுதல் பற்றி அறிகின்றோம். ரெனே டேக்கார்ட் (Rene' Descartes) என்ற பிரெஞ்சுக் கணித பௌதிக வல்லுநரால் முதன்முதல் கையாளப்பட்ட இம்முறையில் புள்ளிகளின் இடங்களைக் குறிக்க இரண்டு அல்லது மூன்று ஆயங்களிலிருந்து அவற்றின் தொலைவை உபயோகிக்கவும், இதனால் தளத்திலும், முப்பரிமாணப் பிரதேசத்திலும் பலவகைப்பட்ட நியமப் பாதைகளையும், பரப்புக்களிலுள்ள புள்ளிகளையும் அவற்றின் ஆயத்தொலைகளான x, y, அல்லது x, y, z எனும் எண்களிடையே உள்ள ஒரு சமன்பாட்டினால் காணவும் வழி ஏற்படுகிறது. இம்முறையினால் இயற்கணிதத் தேற்றங்கள் வடிவ கணிதத்திற் பயன்படுவதுடன், அதனின்று இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்பிகளின் (Polynomials) அமைப்பைப்பற்றி அறியப் பல வழிகள் தென்படுகின்றன. தளத்திலோ, முப்பரிமாண, n பரிமாணப் பிரதேசத்திலோ ஆயங்களைப் பலவிதமாக நிருமாணிக்க முடியும். இவ்வாறு ஆய மாற்றத்தைப் பொறுத்து இல்லாத புள்ளிக் குழாங்களின் தன்மைகளே வடிவகணிதத்தில் கருதப்படும். இத்தகைய ஆய மாற்றங்களைப் பற்றி அறிய இயற்கணிதத்தில் எண்சாரங்களைப் (Matrix) பற்றிக் கருதவேண்டும். இதுவன்றி, ஆயமாற்றம் மட்டும் இன்றி வேறு சில மாற்றங்களிலும் சிதைவுறாப் புள்ளிக்குழாங்களின் தன்மைகளைக் காணப்புகுவதால் பலவித வடிவ கணிதங்கள் ஏற்படுகின்றன. குலங்கள் (Group), களங்கள் (Field) எனப்படும் இயற்கணித அமைப்புக்கள் இவ்வித வடிவகணிதங்களின் ஆராய்ச்சியிற் பயன்படுகின்றன.
3. இயற்கணிதத்தின் தற்காலப்போக்கு : எண் கணங்களினாலும் புள்ளிகளாலான பிரதேசங்களின் அகப்பொருத்தங்களினாலும் (Transformations) ஆன கணங்களிடையே சில பிணைகளும் உறவுகளும் நிறுவப்படுகின்றன. இவற்றைப் பொறுத்தவரை இக்கணங்களின் தன்மை எத்தகையது எனக் காணும் பிரச்சினை நவீன இயற்கணிதத்தின் போக்கை விவரிக்க உரிய உதாரணமாகும். இது தவிரச் 'சிறிது, பெரிது' என்று எண்களிடையே நிறுவும் கிரமப்படுத்தும் உறவு (Ordering relation) கணங்களிடையே 'பெரிது, சிறிது' எனக் கூறும் குறைக்கிரம உறவு (Partial Ordering relation) போன்ற அமைப்புக்களும் தற்காலத்து இயற்கணிதத்தில் கருதப்படுகின்றன.கணத்திலுள்ள தனிமங்கள் (Elements) எத்தகையவை, அவை எண்களா, அகப்பொருத்தங்களா என்று குறிக்காமல் சில பிணைகளையும் உறவுகளையும் பொறுத்துக் கணத்தின் தனிமங்கள் எப்படிப்பட்ட விதிகளுக்குட்பட்டன என்று மாத்திரம் குறித்து, அவ்விதிகளினின்று மற்றத் தேற்றங்களைக் காணுதல் தற்கால இயற்கணித முறையாகும். தற்கால இயற்கணிதம் இத்தகைய ஆராய்ச்சியால் பலவிதமான கணங்களுக்குப் பொதுவாக உள்ள பண்புகளைப் பொதுப்படுத்திக் கூறி, அவற்றைத் தனித்தனியே பல முறை நிறுவ அவசியமின்றிச் செய்கிறது.
நூல்கள்: Barnard & Child, Higher Algebra; Birkhoff & Machane, Survey of Modern Algebra; R. Courant, What in Mathematice; Klein, Elementary Mathernatics from an Advanced Viewpoint - Vol.2. Arithmetic and Algebra.
நவீன இயற் கணிதம் (Modern Algebra) : 1. நீளமாகவும் சிக்கலாகவும் தோன்றும் கணிதக் கேள்விகளை எழுத்துக் குறிகளையும், கூட்டல், பெருக்கல் முதலிய பிணைகளுக்கு (Operation) உரிய +, எனும் குறிகளையும், ஓர் எண் மற்றொன்றுக்குச் சமானம், குறைபட்டது என்றது போன்ற உறவுகளுக்குரிய =. < எனும் குறிகளையும் பயன்படுத்தி, ஒரு சமன்பாட்டையோ, சமனின்மையையோ சுருக்கமாக எழுதி, அதனின்று வினாவிற் குறித்த (எழுத்தால் குறிக்கப்பட்ட) எண்ணின் மதிப்பைக்கான உதவும் ஒரு கணிதத் துறை இயற்கணிதமாகும் என்று கண்டோம். இப் படி +..<, = முதலிய பிணைகள், உறவுகள் இவற்றைப் பொறுத்து எண்களிடையே ஏற்படும் அமைப்பை முதலிற் பயில்வதுபோல், எண்கள் தாமின்றி மற்ற அமிசங்களாலான கணங்களிடை (Sets) இத்தகைய பிணைகளும் உறவுகளும் சில ஆதாரத் தத்துவங்களுக்குட்பட்டு இருக்குமாயின், அவற்றைப்பற்றி எத்தகைய தேற்றங்களை நிறுவலாம் என்று காண்பதே நவீன இயற்கணிதத்தின் நோக்கமாகும். இத்தகைய அமைப்புக்களில் முக்கியமான சிலவற்றைப்பற்றிச் சுருக்கமாக ஆராய்வோம்.
2. எண்வகைகளின் சில சிறப்பியல்புகள்: I என்பது தன. ரிண, முழு எண்களாலும் சுன்னத்தாலும் ஆன எண் கணம் என்றும்,
R என்பது தன, ரிண, பின்னங்களாலும் சுன்னத்தாலும் ஆன எண் கணம் என்றும்,
c என்பது தன, ரிண, வாஸ்தவ எண்களாலும், சுன்னத்தாலும் ஆன எண் கணம் என்றும்,
Γ என்பது கலப்பு எண்களாலான எண்கணம் என்றும் கொள்வோம். Γஇல் C உட்கணம் (Subset),
