இயற் கணிதம்
22
இயற் கணிதம்
Gஇன் தனிமங்களாயின் g . a=g . b அல்லது g . a. g.b இவற்றிடை பொதுத் தனிமங்களே கிடையாது என்று காண, c எனும் தனிமம் g - R இலிருத்தற்குப் போதுமானதும், அவசியமானதும் ஆன காரணம் “c . ầ1εg” என்பதாகும் என்று நிரூபித்தல் போதும்). இப்பாகங்களாலான கணத்தை (G : g)r என்று குறிப்போம்.[a . g] என்பன Gஇனைப் பகுக்கும் இடப்புற உபகணங்களைத் தருகின்றன. இப்பாகங்களாலான கணத்தை (G : g)1 எனக் குறிப்போம். g எனும் உட்குலத்தைப் பொறுத்து Gஇன் ஒவ்வொரு தனிமம் a-க்கும் g . a = a . g எனும் விதி உண்மையாயின் g-ஐ ஒரு ‘நேர்மை உட்குலம்’ (Normal sub-group) என்போம். அப்படி g இருப்பின் (G: g)1 என்பதும், (G: g)r என்பதும் Gஇன் ஒரே பகுத்தலினால் வரும் உட்கணங்களாலான கணக்குழாம் (Family of Sets) ஆகும்; மேலும் அதனை G: g என்று குறித்து இக்கணத்தை ஒரு குலமாகக் கருத முடிகிறது. = என்பதை G: gஇன் தனிமங்களான Gஇன் உட்கணங்களிடையே உள்ள சமத்துவமாகவும். g . a, g . b எனும் G : gஇன் இரு தனிமங்களுக்கு (g . a). (g. b) என்பது g. (a . b) என்றும் கொண்டால் G : g ஒரு குலம் ஆகிறது. இதனை G-ஐ gஇனால் 'பகு குலம்' {Quotient group) என்றழைப்போம். f என்பது G-ஐ G'இன்மேல் பொருத்தும் சம்வேசனம் ஆயின், f(a) =0 எனும் விதிக்குட்பட்ட Gஇன் தனிமங்கள் Gஇல் ஒரு நேர்மை உட்குலம் g ஆகும். (G : g) உம் G' உம் சமகிதானமாகும்.
G ஆனது n தனிமங்களுடைய (அபர) குலமும், g ஆனது m தனிமங்களுடைய உட்குலமும் ஆயின், (ga) எனும் உபகணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் m தனிமங்களிருக்குமாகையால் (G : g)rலுள்ள (உபகணங்களாலான) தனிமங்களின் எண் r ஆனால் n=mr என்றாகிறது. ஆகையால் உட்குலம் gஇன் நிரையானது Gஇன் நிரையை வகுக்கும் எண்ணாகும். Gஇல் a எனும் ஒரு தனிமத்தின் தனி மடக்கங்கள் an, a0 = 1, an = (a-1)n இவற்றினாலான உட்கணம் Gஇல் ஓர் உட்குலம் என்று தெரிகிறது. இவ்வுட்குலம் a இனால் விவரிக்கப்பட்டது எனலாம். இவ்வுட்குலத்தின் நிரையை aஇன் நிரை என்றும் சொல்வதுண்டு. ஆதலால் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் நிரையும் Gஇன் நிரையை வகுக்கும் எண்ணாகும் (G அபரகுலமாயின்).
6. குலங்களின் அமைப்பை ஆராய்தல் : g1, g2 என்பன [(=, ') என்ற சமத்துவம், குலபிணை பொறுத்த] குலங்களாயின் (a1 . a2) என்று g1 இலிருந்து ஒரு தனிமம் a1 உம், g2இலிருந்து ஒரு தனிமம் a2 உம் கொண்ட இரட்டைகளினாலான கணம் (g1Xg2) எனப்படும். இக்கணத்தில் (a1', a2') = (b1, b2) என்பதற்கு a1 =a2, b1=b2 என்று பொருள் கொடுத்தும், (a1, a2). (b1, b2) என்ற பிணையின் பயனை (a1 . a2 . b1 . b2) என்றும் கொண்டால் g1Xg2 என்பது ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தில் [(a1, 12) ] என்ற இரட்டைகளாலான கணம் g'1(12 என்பது g2 இன் ஒற்றைத் தனிமம்) g1 X g2 இல் ஒரு நேர்மை உட்குலம். இது g1 உடன் சமநிதானமானது (a1 ↔ (a1, 12) என்ற ஒன்றொன்று பொருத்தம் g1-க்கும் g'2-க்கும் இடையில் ஒரு சமநிதானம் ஆகும்.(g1Xg2)/g'1, விற்குg2 சமநிதானம் என்று காணலாம். இதேபோல் (gn) என்று பல குலங்களைச் சேர்த்து P(gn) என்றொரு குலத்தை நிறுவலாம்; இதனில் ஒவ்வொரு g-க்கும் சமநிதானமாக ஒரு நேர்மை உட்குலமிருக்கும். குலங்களின் அமைப்பை ஆராய்வதில் இவ்வகையாகச் சிறப்பான சில குலங்களைக் கொண்டு அவற்றின் சேர்க்கையால் வரும் குலம் P(gn) அல்லது அச்சேர்க்கையின் உட்குலம் இவற்றுடன் சமநிதானமாக எக்குலங்களைக் காட்டலாம் என்பது ஒரு முக்கிய பாகமாகும். சிறப்பான குலங்களில் அபர கணமொன்றின் அகப்பொருத்தங்களாலான குலமும், கீழே சொல்லப்படும் சதிசிப் பிரதேசத்தின் (Vector Space) வரி அகப்பொருத்தங்களாலான (Linear endomorphism) குலங்களும் முக்கியமானவை.
7. களமும் வலயமும்: R என்பது (=,+,.) ஐப் பொறுத்து ஒரு வலயம் அல்லது களம் ஆனால் அதன் உட்குலமான S என்பது ஓர் உள்வலயமாயிருக்க S+S⊂S,-S⊂S, S. S⊂S என்ற விதிகளும், S ஓர் உட்களமாயிருக்க, இம்மூன்றைத் தவிர (S-(0))-1 ⊂S என்ற விதியும், அவசியமும் போதுமானதும் ஆகும். S என்பது R எனும் களம் ஒன்றின் உள்வலயமாயின்S ஆனது நியம் வலயமாகும். R பரிவர்த்தன களமாயின் S உம் பரிவர்த்தன வலயமே. இதற்குப் பிரதியாக ஒன்றுடைய பரிவர்த்தன நியம வலயம் R ஒன்று கொடுக்கப்பட்டால், முழு எண்களிலிருந்து பின்னங்களை நிறுவுவது போல R இன் தனிமங்களின் இரட்டைகளிடை (=, + , .) என்பனவற்றைச் சரிவர நிருமாணித்து, இவ்விரட்டைகளினாலாய கணம், S க்குச் சமநிதானமான வலயத்தை உள்வலயமாகக் கொண்ட ஒரு களமாகச் செய்யலாம். இக்களம் R இன் பின்னங்களாலானது என்போம். ஆதலால் சமநிதானம் பொறுத்தவரை ஒன்றுடைய பரிவர்த்தன நியம வலயங்களைக் களங்களின் உள் வலயங்களாகவே கருதலாம்.
களத்தின் முக்கியத்துவம் யாதெனில் R, C, Г எனும் எண் களங்களுக்குரிய பல தேற்றங்கள் சம்வர்த்தன களங்களுக்கும் நிரூபிக்க முடிகின்றன. உதாரணமாகச் சமன்பாடுகளின் தீர்வை ஆராயப் புகுந்தால் F எனும் ஒரு கணத்தின் (ao.......an ) எனும் தனிமங்களைக் குணகங்களாகக் கொண்ட 2o xn+...+ an=O எனும் சமன்பாட்டில் X எந்தெந்த F இன் தனிமமாயிருந்தால் இச்சமன்பாடு உண்மையாயிருக்கும் என்று ஆராயலாம். இத்தகைய ஆராய்ச்சியில் ஆழ்ந்த கருத்துக்களை விவரித்தவர் 'கால்வா' (Galois) என்ற பிரெஞ்சுக் கணித அறிஞர். (சமன்பாடுகளின் தீர்வைப்பற்றிச் சமன்பாடுகள் என்ற கட்டுரை பார்க்க).
8. வலய சம்வேசனம் சமநிதானம், சீர்கணம் குலங்களிடைச் சொன்னதுபோல R, R1 எனும் வலயங்களில் R-ஐ RI இல் பொருத்தும் f எனும் ஒரு பொருத்தல் முறை கொடுக்கப்பட்டு, மேலும் f (a+b=f (a) +f (b), f (a. b) =f (a). f(b) எனும் விதிகள் R இன் தனிமங்கள் a, b எவற்றிற்கும் உண்மையாயின், f-ஐ ஒரு (வலய) சம்வேசனம் என்போம். f ஆனது R-ஐ R' இன்மேல் பொருத்தும் ஒன்றொன்று பொருத்தல் முறையாகவும், f, fI ஆகிய இரண்டும் (வலய) சம்வேசனங்களுமாயின் ( ஒரு (வலய) சம நிதானம் எனலாம். R எனும் வலயத்தின் உட்கணமான S ஆனது (=, ⊂, . ஐப் பொருத்து) Rஇன் உட்குலமாக இருப்பதுடன் S. a ⊂ S என்பது Rஇலுள்ள தனிமம் a ஒவ்வொன்றிற்கும் உண்மை ஆயின், S-ஐ R இன் 'வலப்புறச் சீர்கணம்' என்றும், [a. s] போன்ற கணங்களை Sஇன் இடப்புறத் துணைக் கணங்களென்றும் கூறுவோம். முன்போல Rஇல் nதனிமங்-
