இயற் கணிதம்
23
இயற் கணிதம்
களும் S இல் n தனிமங்களும், (a S) போன்ற துணைக் கணங்களுள் ஒன்றினோடொன்று தனிமங்கள் பொதுவாக இல்லாது r துணைக் கணங்கள் இருந்தால் n = m. r என்று காணலாம். இடப்புறச் சீர் கணம் a. S ⊂S எனும் விதியாலும், இருபுறச் சீர்கணம் a. S⊂S, S. a ⊂S என்ற விதிகளாலும் நிருணயித்து, S ஓர் இருபுறச் சீர்கணமாயின் (R/S) என்ற Sஇன் இட (வல) புறத் துணைக்கணங்களில் வெவ்வேறானவற்றாலான கணத்தில் (=, +, .) என்பவற்றை நிறுவி (R/S)-ஐ ஒரு (பகு) வலயமாக்கலாம். குலத்தினைப் போல் f என்பது R-ஐ R'இன்மேல் பொருத்தும் சம்வேசனமாயின் f (x)=o எனும் விதியால் நிருணயமாகும் Rஇன் தனிமங்களா (x) லான N எனும் கணம் Rஇல் ஓர் இருபுறச் சீர்கணம் என்றும் (R/N) உம் R' உம் சமநிதான வலயங்கள் என்றும் காட்டலாம்.
R எனும் ஒற்றையுடைய வலயத்தில் a எனும் ஒரு தனிமத்தினின்று [bac] [b,c Rஇன் தனிமங்கள்], என்பது போன்ற தனிமங்களின் கூட்டுத் தொகைகளாலான ஓர் இருபுறச் சீர் கணம் நிறுவலாம். இதனை a யினால் நிறுவிய பிரதானச் சீர்கணம்' என்போம்.
9. பல்லுறுப்பி வலயங்கள், சதிசிப் பிரதேசங்கள், அல்ஜேப்ராக்கள் : R என்பது ஒற்றையுடைய சம்வர்த்தன வலயம், அல்லது களம் ஆயின் X எனும் ஒரு குறிக்கும் அதன் பெருக்கங்களான x2, x3 ஆனவற்றிற்கும் Rஇலிருந்து தனிமங்களைக் குணகங்களாய் உபயோகித்து f(x) = ao/xn...... + an என்பதுபோல் பல்லுறுப்பிகளை தனிமங்களாகக் கொண்ட R[x] ஐ மற்றொரு வலயமாகக் கொள்ளலாம். [an=2nx°x°=1 என்று கொண்டு, இப் பல்லுறுப்பிகளிடை கூட்டலும் பெருக்கலும் நாம் சாதாரணமாக R-ஐ நிஐ எண்களாலான களமாயின் எப்படி நிருணயிக்கிறோமோ அவ்வாறே இங்கும் வரையறுக்கலாம்]. இத்தகைய பல்லுறுப்பிவலயம் R[x), முன் கொடுத்த R எனும் வலயத்தை உள் வலயமாக வுடையது. R என்பது நியம வலயமாயின் R[x] உம் நியமவலயமாகும். அப்பொழுது R[x]இன் பின்னங்களாலாய களத்தை R(x) என்று குறித்து, இதனை Rஇலிருந்து குணகங்களுடைய x இன் பின்னச் சார்பலன்களாலான களம் என்பது உண்டு. X1, X2......Xn என்று பல குறிகளை ஒன்றன்பின் ஒன்றாகச் சேர்த்துப் பல குறிப் பல்லுறுப்பிகளாலும் (Polynominals in several indeterminates) வலயங்கள் நிறுவலாம் ( R[x1....xn1 ] என்பது R [xi......Xn1] உடன் Xn ஐச் சேர்த்தலால் வருவது என்று கொள்கிறோம்).
G எனும் சம்வர்த்தன குலம் ஒன்றில்+ என்பது குலப்பிணை என்றும், R எனும் ஒற்றையுடைய சம்வர்த்தன வலயம், அல்லது களம் ஒன்றிலிருந்து எடுத்த ஒவ்வொரு தனிமம் உம் Gஇன் தனிமம் X இலிருந்து ax எனும் மற்றொரு தனிமத்தை நிருமாணிக்கிறது என்றும், மேலும் a (x+y)=ax+ay. (aSβ)x=a(βx), (a+β)x=ax+βx என்னும் விதிகள் உண்மை என்றும் கொண்டால்G ஆனது Rஇன் மேல் ஒரு சதிசிப் பிரதேசம் என்போம். Gஇன் a எனும் ஒவ்வொரு தனிமமும் C1....., Cn எனும் n தனிமங்களின் சார்பாக a=a1C1+...+anancn என்று ஒரேயொரு விதத்தில் கொடுக்கப்படுமாயின் C1....Cn என்பன G.ஐ விவரிக்கும் தனிமங்கள் என்றும் G ஆனது Rஇன்மேல் n பரிமாண சதிசிப் பிரதேசம் என்றும் சொல்வது மரபு. நாம் சாதாரணமாக வடிவ கணிதத்திற் காணும் முப்பரிமாணப் பிரதேசம் R எனும் நிக எண்களத்தின்மேல் முப்பரிமாண சதிசிப் பிரதேசமாகும். இயற்கணித வகையில் வடிவ கணிதத்தை ஆராயும்போது இத்தகைய n பரிமாண சதிசிப் பிரதேசத்திலேயே விசேட உட்கணங்களைக் கருதுதல் வழக்கமாகும். வடிவக் கணிதத்தின் கீழுள்ள கட்டுரைகளில் இதன் விவரங்களைக் காணலாம்.
R எனும் களத்தின் மேல்G என்பது சதிசிப் பிரதேசமா யிருத்தலுடன் Gஇன் தனிமங்கள் a, b என்ற எவ்விரண்டிற்கும் a . b என்றொரு மூன்றாவது தனிமம் கொடுக்கப்பட்டு G ஆனது (=, +, .) ஐப் பொருத்து ஒரு வலயமாகவும் a . a= a. a எனும் வீதி Rஇலிருந்து a உம்,G யிலிருந்து a உம் எதுவாயினும் உண்மையாகவும் இருந்தால், G என்பது Rஇன்மேல் ஓர் 'அல்ஜேப்ரா' எனப்படும். 'அல்ஜேப்ரா'க்களின் அமைப்பை விவரித்தல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு முக்கிய பாகமாகும். இவற்றினைப் பற்றிக்கூற இக்கட்டுரையில் முடியாது.
10. தனிம காரணி, சீர்கணக் காரணி: தன, ரிண எண்களும், சுன்னமும் சேர்ந்த I எனும் வலயத்தின். எந்த (சுன்னம் தவிர்த்த) எண்ணையும் பகாக் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதலாம். (உ-ம். 35 = 5X7; - 24 = (-1) 2×2X2X3). இம் முறையை வேறெந்த வலயங்களில் கையாளலாம் என்று ஆராய்தல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பாகமாகும்.
ஒற்றையுடைய சம்வர்த்தன நியம வலயம் R ஒன்றில் a எனும் ( தவிர்த்த) தனிமம் a= b . c என்று எழுதப்படுமாயின் b, c என்பவை aஇன் காரணிகள் எனப்படும். b/a, c/a என்ற குறிகளால் இதனைச் சுருக்கமாகக் காட்டலாம். a/b, b/a இரண்டும் உண்மையாயின், a, b என்பன துணைத் தனிமங்கள் எனப்படும். 1இன் துணைத் தனிமங்களை ஒற்றைத் தனிமங்கள் என்போம் [R, C என்ற எண் களங்களில்+1, -1 என்பனவும் Г எனும் களத்தில் +1 -1, +i, -i என்பனவும் ஒற்றைகள் என்று காணலாம்]. a, b துணைத் தனிமங்களாயின் a=b.u, -u ஓர் ஒற்றை என்று எளிதிற் காணலாம். இப்படி எத் தனிமத்தையும் ஒற்றையைத் துணைத் தனிமத்துடன் பெருக்கி வந்ததாகக் காணலம். இதனால் ஒற்றைகளையும் துணைத் தனிமங்களையும் aஇன் அற்ப காரணிகள் (Trivial factors) எனலாம். a எனும் தனிமத்திற்கு அற்பக் காரணிகள் தவிர வேறு காரணிகளில்லாவிடில் a-ஐ ஒரு 'பகாத் தனிமம்' என்போம். I எனும் நியம வலயத்தில் பகாத் தனிமங்கள் பகா எண்களே ஆகும். எவ்வித வலயங்களில் பகாத் தனிம காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக எத்தனிமத்தையும் காணலாம் என்பதைச் சற்று ஆராய்வோம்.
I எனும் எண்களத்தில் ஒவ்வொரு எண் aக்கும் (a) என்னும் (a,-aஇல் தன எண்ணின்) மதிப்பை g (a) என்று சொன்னால் (1) g (a.b) > g (a) (b சுன்னமில்லாவிட்டால்) ; மேலும் (2) a, 6 எனும் Iஇன் எண்கள் கொடுத்து a≠o என்றும் இருந்தால் கீழ்க்கண்ட விதிக்குட்பட்ட q, r எனும் Iஇன் எண்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம்: b= qa+r, r=0 அல்லது g (r)<g (a). இதேபோல் ஒரு களம் Kயிலிருந்து குணகங்களுள்ள பல்லுறுப்பிகளாலான K [x) என்ற வலயத்தில் f (x) = 2oxn + an என்ற தனிமத்தில் a0≠0 ஆனால் g (f(x))=n என்று கொண்டால், இந்த g என்ற தன முழு எண்களின்மேல் K [x]ஐ பொருத்தும் வகையும் மேலே சொன்ன (1) (2) எனும் வீதிகளுக்குட்பட்டது என்று தெரிகிறது. இத்தகைய தன முழு எண்மதிப்புடைய சார்பலன் (g என்பது) 'ஒற்றை' உடைய நியம சம்வர்த்தன வலயத்து
