இயற் கணிதம்
25
இயற் கணிதம்
அங்கங்கள் S2 அல்லது S3 ஆகிய ஒன்றில் மாத்திரம் இருந்து மற்றதில் இல்லாமல் இருக்கும் S இன் அங்கங்களாகும். (உதாரணத்தில் தமிழரல்லாத மாணவரும், மாணவரல்லாத தமிழரும் ஆகிய இவர்களின் கணம்) S2 ⊕S3 .ஐ S2, S3 இவற்றின் பரஸ்பர விலக்கம் எனலாம்.
(1. ஆ), (1. இ) இல் குறித்த பிணைகளை இரண்டு அல்லது முடிவெண்ணிக்கையுள்ள உட்கணத் தொகுதிகளுக்கு மாத்திரமன்றி முடிவற்ற கணத்தொகுதிகளுக்கும் நிருணயிக்கலாம். உதாரணமாக S என்பது 1, 2, 3.... எனும் தன முழு எண்களாலான கணம் என்றும், S2' Tn (n தன முழு எண்ணாயின்), n-ஐ விடச் சிறிய முழு எண்களாலானதும், n' இனால் வகுபடும் எண்களாலானதும் ஆகிய Sஇன் உட்கணங்களாயின், (1. ஆ) : (∩n Tn) என்பது எல்லா உட்கணங்கள் Tn இலும் உள்ள Sஇன் அங்கங்களாவான கணம். இது இவ்வுதாரணத்தில் சுன்னக்கணம் ஆகும். (அங்கங்களே இல்லாத ஓர் 'சுன்னக் கணமும்' Sஇன் உட்கணமாகக் கருதப்படும்). ∩n (Tn) உம் Tnகளின் கணசந்தி எனப்படும். (1.இ (∪n (Sn) என்பது ஏதாவது ஒரு Sn இலாவது இருக்கும் Sஇன் அங்கங்களாலான கணம்; உதாரணத்தில் இது S முழுவதும் ஆகும். ∪n (Sn) உம் Snகளின் 'கணச் சேர்க்கை' எனப்படும்.
மேலே சொன்ன உதாரணத்தில் S ஆனது 'எண்ணுதலுடைய முடிவற்ற' கணம் (enumerably infinite set). இதைத் தவிர எண்ணுதலிலா முடிவற்ற கணத்தின் எண்ணுதலிலா முடிவற்ற உட்கணக் குழாங்களினூடேயும், (∩ . ∪ எனும் பிணைகளை மேலே சொல்லிய வகையில் வரையறுக்கலாம்.
1. (ஊ) S எனும் கணம் ஒன்றின் உட்கணங்கள் (A, B...) சிலவற்றால் ஆன R எனும் கணக்குழாம் ஒன்றைக் கருதுவோம். Rஇலிருந்து எடுத்த எந்த இரு கணங்கள் A, Bக்கும் (A ∪B), (A ∩ B) எனும் கணங்களும் Rஇல் இருந்தால் R என்பது ஒரு கணவலயம் எனப்படும். கணவலயம் Rஇல் மேலும் எண்ணுதலுடைய முடிவற்ற(A1, A2.. An...) என்ற எந்த Rஇன் உறுப்புக்களாலான கணத்திற்கும் Un (An) உம் R இல் இருக்குமானால் [∩n (An) உம் Rஇல் இருக்குமானால்] R-ஐ ஒரு о̄ கணவலயம் (R-ஐ ஒரு δ கணவலயம்] என்பார்கள். இதே மாதிரி எண்ணுதவிலா அளவற்ற Rஇன் அங்கங்களாலான கணம் ஒவ்வொன்றின் சேர்க்கையும் (அல்லது சந்தியும்) Rஇல் இருக்குமாயின் R-ஐ ஒரு ∑ கணவலயம் (ஒரு △ கணவலயம்) என்பர். பிறகு (о̄δ, о̄△. ∑δ. ∑△ கண வலயங்கள் என்பனவற்றை இக்குணங்களின் சேர்க்கையால் நிறுவுதல் வழக்கம்.
கணவலயம் R ஒன்றில் A, B என்ற உறுப்புக்களுடன் A ⊕ Bஉம் (எந்த இரு உறுப்புக்களுக்கும்) இருக்குமாயின் R-ஐ ஒரு கணகளம் என்போம். முன்போலவே о̄-, δ-, ∑-, △-,.... கணகளங்களை வரையறுக்கலாம்.
2.கணவலயங்களும் சட்டகங்களும் (Set rings and lattices). கணவலயங்களின் இயற்கணித அமைப்பை நிருணயிக்க மேலே கூறிய ⊂, ∪, ∩... முதலிய உறவு, பிணைகளைப் பொருத்துக் கணவலயங்களின் சில குணாதிசயங்களை முதலில் காணுவோம். (கீழ்வரும் தேற்றங்களை R எனும் கணவலயத்தின் அங்கங்கள் A, B, C... முதலியவற்றிடை நிரூபித்தல் அரிதன்று).
2.(அ) A⊂B' என்பதும் A∪B=B' என்பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள்.
2. (ஆ) A∪B=B' என்பதும் 'A∩B=A ' என்பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள்.
2. (இ) (A∪B) = B∪A ; (A∪B) ∪C = A∪ (B∪C)
2. (ஈ) A∩B=B∩A; (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C);
2. (உ) A∪A=A; A∩A=A
2. (ஊ) A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
2. (எ) Φ, S என்ற கணங்கள் R இலிருக்குமாயின் 'Φ ⊂A, A ⊂S ' எனும் தேற்றங்கள் S இன் அங்கம் A ஒவ்வொன்றிற்கும் உண்மை.
2. (ஏ) (A-B), A, B, Φ என்பன கணவலயத்தின் அங்கங்களாயின் (A-B)∪B-A, (A- B) ∩ B = Φ உண்மை.
2. (ஐ) R கண்களமாயின் Φ என்ற கணம் R இன் அங்கமாகும்; மேலும் A எனும் R இன் அங்கம் ஒவ்வொன்றிற்கும் A⊕=Φ என்பது உண்மை. A⊕B=B⊕A (A⊕B) ⊕C = A⊕ (B⊕C), A ⊕ Φ=A என்ற தேற்றங்களும் கணகளத்தில் நிலைபெறும்.
2. (ஒ) கணவலயம் S இன் உறுப்புக்களாலான [Ai எனும் குழாத்தின் கணச்சேர்க்கை, ∪i [Ai] R இல் இருக்குமாயின். B எனும் R இன் எவ்வுறுப்பும் B∩ [Ui (Ai)] = ∪i [B∩Ai) என்ற விதிக்கு உட்படும். இதே போல் ∩ [Ai] உம் Rஇ லிருந்தால் B∪ [∩i (Ai)] = ∩i [B∪Ai] என்பதும் உண்மை.
அடுத்ததாக மேலே சொன்ன விதிகளிற் சிலவற்றிற்குட்பட்ட பிணைகளை உடைய கணங்களின் அமைப்பைப் பற்றி ஒரு சில கூறுவோம்.
2. (ஓ) ட எனும் ஒரு கணத்தின் இவ்விரு அங்கங்கள் (A.B) ஐப் பிணைக்கும் ∪, ∩ எனும் இருபிணைகள் (2. ஆ) முதல் (2. உ) வரை உள்ள விதிகளுக்குட்பட்டுக் கொடுக்கப்படின் ட-ஐ ∪, ஆனவற்றை சட்டகத் தொகை'. 'சட்டகப் பெருக்கல்' ஆக உடைய ஒரு சட்டகம் என்று கூறுவோம்.
(2. அ) ஐக் கொண்டு இதனில் ஒரு குறைக்கிரம உறவு '⊂' என்பதை நிறுவினால், (A∪B) ஆனது A, B இவற்றைவிடப் பெரிய ட இன் அங்கங்களுள் மிகச் சிறியது என்றும், (A∩B) ஆனது A, B இவற்றைவிடச் சிறிய அங்கங்களுள் மிகப் பெரியது என்றும் காணலாம். இப்படிப்பட்ட அங்கங்களையுடைய குறைக் கிரம கணமாகவும் சட்டகத்தைத் தீர்மானிக்கலாம். (A⊂B என்பதற்கு A ஆனது B-ஐ விடச் சிறியது என்றும், B ஆனது A-ஐ விடப் பெரியது என்றும் கூறுகிறோம்).
2. (ஔ.) சட்டகத்தின் பிணைகள் (2. ஊ) இல் கொடுக்கப்பட்ட 'பங்கீடு' விதிகளுக்குட்பட்டிருந்தால் அச்சட்டத்தைப் 'பங்கீட்டுச் சட்டகம்' (Distributive I.) என்போம்.
2. (க) பங்கீட்டுச் சட்டகம்- ட இல் Φ எனும் மிகச் சிறிய அங்கமும், A, B எனும் எந்த இரு அங்கங்களுடனும் (A-B) UB = A, (A-B) ∩B=Φ எனும் வீதிகளிற்குட்பட்ட (A-B) எனும் (குறியால் குறிக்கப்பட்ட) ஓர் அங்கமும் இருக்குமாயின் ட -ஐ ஒரு 'பூலிய வலயம்' (Boolean ring) என்போம். இப்போது A⊗B= (A-B) U(B. -A) என்று கொண்டால் ட ஆனது (⊗, ∩) ஆகிய பிணைகளைப் பொறுத்தவரை ஒரு வலயமாகும்; இவ்வலயத்தில் A⊗A = Φ உம் A∩A = A உம் சிறப்பு விதிகளாகும்.
4
