இயற் கணிதம்
26
இயற்கைச் சிகிச்சை முறை
2. (கா) ட எனும் பூலிய வலயத்தில் S எனும் மிகப்பெரிய அங்கம் இருக்குமாயின் (அல்லது ஒவ்வோர் அங்கம் A உடனும் S∩A=A என்று விதியையுடைய S எனும் ஒற்றை (Unit) இருக்குமாயின்) ட -ஐ 'பூலிய அல்ஜேப்ரா' என்போம். பூலிய அல்ஜேப்ரரவில் S-A=A' என எழுதினால் AUA'=S, A∩A'=Φ எனத் தெரிகிறது. S, Φ எனும் மிகப்பெரிய, மிகச் சிறிய அங்கங்களைச் சார்ந்து A எனும் சட்டக உறுப்பு ஒன்றிற்கு மேற்சொன்ன சமன்பாடுகளிற்குட்பட்ட A' எனும் உறுப்பு இருக்குமாயின் A'- ஐ A இன் ஒரு துணை உறுப்பு என்பர். பங்கீட்டுச் சட்டகங்களில் ஓர் உறுப்பிற்கு ஒரு துணை உறுப்பிற்குமேல் இராது. A' இன் துணை உறுப்பு A உம் ஆகும். பூலிய அல்ஜேப்ராவை S, Φ எனும் மிகப்பெரிய, மிகச்சிறிய அங்கங்களும் ஒவ்வொரு Aக்கும் ஒரு துணை உறுப்பு A'உம் உடைய பங்கீட்டுச் சட்டகம் என்றும் நிருணயிக்கலாம்.
2. (கி) ட எனும் குறைக்கிரம கணத்திலோ சட்டகத்திலோ ஒவ்வொரு உட்கணம் [A1] க்கும் L இல் A1 களைவிடப் பெரிய அங்கங்களிலிருந்து அவற்றுள் மிகச் சிறியது U1 [Ai) எனும் அங்கமும், ட இல் Ai களைவிடச் சிறிய அங்கங்களிலிருந்து அவற்றின் மிகப் பெரியது ∩i [Ai] உம் இருக்குமாயின் ட ஐ 'சம்பூர்ணச் சட்டகம்' (Complete I.) என்னலாம். U [Ai], ∩ [Ai] இவற்றை [Ai] இன் 'சட்டகத் தொகை', 'சட்டகப் பெருக்கம்' என்போம். சம்பூர்ணச் சட்டகம் பூலிய வலயமாகவோ, பூலிய அல்ஜேப்ராவாகவோ இருந்தால் அதனை சம்பூர்ண பூலியவலயம் அல்லது சம்பூர்ண பூலிய அல்ஜேப்ரா என்போம்.
சில சட்டகங்களின் அமைப்பு : மேலே விவரித்த சட்டக விதங்களிலிருந்து கீழ்க்கண்ட உண்மைகளைக் காணலாம்:
3. (அ) கணவலயம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு பங்கீட்டுச் சட்டகம்.
3. (ஆ) ∑ △ கணவலயம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு சம்பூர்ண பங்கீட்டுச் சட்டகம் ஆகும்.
3. (இ) கண்களம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு பூலிய வலயம். கணகளத்தில் மிகப் பெரிய கணம் ஒன்றிருக்குமாயின், அக்களம் ஒரு பூலிய அல்ஜேப்ரா ஆகும்.
3. (ஈ) S எனும் ஒரு கணத்தின் உட்கணங்கள் எல்லாவற்றாலும் ஆன கணகளம் ஒரு சம்பூர்ண பூலிய அல்ஜேப்ரா ஆகும். இதற்கு அணுக்களால் (Φ ஐத் தவிரத் தன்னினும் சிறிய வேறு அங்கங்களில்லாத சட்டகத்தின் அங்கங்கள் அணுக்களெனப்படும்) ஆன 'தொகைமை அடிவாரம்' (Additive base) ஒன்றிருக்கிறது.(அதாவது ஒவ்வோர் அங்கத்தையும் அணுக்களின் 'சட்டகத் தொகை 'யாக அடையப் பெறலாம்).
இங்குக் கூறிய தேற்றங்கள் சிலவற்றிலிருந்து சில சட்டக வகைகளின் அமைப்பைத் தீர்மானிக்கலாம். இவ்வாராய்ச்சிக்குச் சட்டங்களின் 'சீர்கணம்' (Ideal ) உதவுகின்றது. ட எனும் சட்டகத்தின் உட்கணம் M என்பது “a b எனும் ட இன் அங்கங்கள் Mஇல் இருக்க c ட இலிருக்குமாயின் (a∪b) உம், (a∩c) உம் M இல் இருப்பது நிச்சயம்“ என்ற தேற்றத்திற்குட்பட்டிருந்தால் M-ஐ ட இன் சீர்கணம் என்போம். பூலிய வலயங்களில் சீர்கணங்கள் வலயத்தில் சாதாரணமாக உபயோகிக்கப்படும் சீர்கணங்களுடன் ஒன்றியுள்ளன. உதாரணமாகத் தன முழு எண்களாலான L எனும் கணத்தில் (m∩n)= m. n இவற்றின் அ. பொ. ம. என்றும், (m∪n) = m, n இவற்றின் உ. பெர், அ. என்றும், m⊃n என்பதற்கு m ஆனது n-ஐ வகுக்கக்கூடியது என்றும் கொண்டால் L ஒரு பங்கீட்டுச் சட்டகமாகும். இதில் k எனும் ஒரு தன முழு எண்ணால் வகுபடும் ட இன் உறுப்புக்கள் ஒரு ‘சீர்கணம்' எனக் காணலாம்.
சீர்கணம் M ஆனது, மேலும் “(a∩b) என்ற ட இன் இரு உறுப்புக்களின் பெருக்கத்தை அங்கமாகக் கொண்டால் a அல்லது b-ஐ அங்கமாக உடையது” என்ற விதிக்குட்பட்டால் M-ஐ ஒரு 'மூலச் சீர்கணம்' (Prime Ideal) என்னலாம். மேலே கூறிய உதாரணத்தில் ஒரு பகா எண் p இனால் வகுபடும் தன முழு எண்களின் கணம் ஒரு மூலச் சீர்கணம் ஆகும்.
இனிக் கூறும் தேற்றங்களை நிரூபிப்பது சுலபமல்ல. ஆயினும், அவற்றின் கூற்று எத்தகையதென்பதை எளிதில் கண்டுகொள்ளலாம்.
(3. இ) பங்கீட்டுச் சட்டகம் ஒவ்வொன்றும் அதன் மூலச் சீர்கணங்களினாலான S எனும் கணக்குழாத்தின் உட்கணங்கள் சிலவற்றால் ஆன ஒரு கண வலயத்திற்கு (∪, ∩ பொருத்தவரை) சமநிதானம் ; ஆதலின் இவ்விரண்டின் அமைப்பும் ஒன்றே.
(3. ஈ) பூலிய வலயம் ஒவ்வொன்றும் அதன் பகா மூலச் சீர்கணங்களாலான S எனும் கணக்குழாத்தின் உட்கணங்கள் சிலவற்றால் ஆன ஒரு கணகளத்திற்கு (∩, ∪, ⊗ பொருத்தவரை ) சமநிதானம். பூலிய அல்ஜேப்ரா இதேபோல் மிகப் பெரிய அங்கம் உடைய கணகளத்திற்குச் சமந்தானம்.
3. (உ) அணுக்களாலான தொகைமை அடிவாரம் உடைய சம்பூர்ண பூலிய அல்ஜேப்ரா ஒவ்வொன்றும் ஒரு கணத்தின் எல்லா உட்கணங்களாலுமாய கணகளத்திற்குச் சமநிதானம்.
4. கண இயற்கணிதத்தின் பயன்கள்: தொகைக் கலனத்திற்கு (Integral Calculus) அடிப்படையான அளவைமுறைக் கொள்கையில் (Measure Theory) о̄, δ, о̄δ- கண வலயங்கள் வெகுவாகக் கையாளப்படுகின்றன. விசுவவியலிலும் (Topology) கணிதமுறைத் தருக்க சாஸ்திரத்திலும் பூலிய வலயங்களும் கணகளங்களும் பயன்படுகின்றன. கணிதத்தின் பல பாகங்களிலும் அடிப்படையாக மூலப் பொருள்கள் சிலவற்றால் ஆன கணங்களும், அவற்றின் உட்கணங்களும் வெகுவாகத் தொழிற்படுவதால் கண இயற்கணிதம் ஒரு சிறிதாவது தற்காலக் கணிதத்தின் ஒவ்வொரு பாகத்திலும் அவசியமாகிறது. வை. சு. கி.
இயற்கைச் சிகிச்சை முறை என்பது மருந்து உண்ணாமல் நோயைக் குணப்படுத்தும் முறையாகும். இயற்கைக்கு முரணாக வாழ்வதால் உடலினுள் நஞ்சுகள் தோன்றி, உறுப்புக்களை ஒழுங்காக வேலை செய்ய வொட்டாமல் செய்துவிடுகின்றன. அப்பொழுது காணும் குறிகளைக்கொண்டு நோய் உண்டாயிருப்பதாகக் கூறுகிறோம். நோய் உடலில் உண்டாவதால் உடலேதான் அதைக் குணப்படுத்த முடியும். சாதாரணமாக நாடோறும் உண்டாகும் கழிவுப் பொருள்களை உடல் உடனுக்குடன் அப்புறப்படுத்திவிடுகிறது. ஆனால் இயற்கைக்கு முரணான வாழ்க்கையால் உண்டாகும் நச்சுக் கழிவுகள் முழுதும் வெளியேறுவதில்லை.
ஆயினும் உடல் அவற்றை அப்புறப்படுத்த முயல்கிறது. அந்த முயற்சியின் குறிகளையே நாம் நோய் என்றும், நோய்க் குறிகள் என்றும் கூறுகின்றோம். ஆதலால் முக்கியமாக நச்சுக் கழிவுகளை விலக்குவதற்காக உடல் செய்யும் முயற்சிக்கு உறுதுணையாக நிற்பதே மருத்துவத்தின் வேலையாகும்.
