4 | இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் வேறுபாடுகள் சம்பிரதாயத்தாலும் சமூக ஆதிக்கத்தா லும் பலமடைகின்றன. முடிவு : இயல்பூக்கங்களே ஒழுக்கத்துக்கு மூலப் பொருள்கள். இவற்றைக் கொண்டே ஒழுக்க மாகிய கட்டடம் நிருமாணம் ஆகவேண்டும். இவையே நமக்கு ஆற்றலைத் தருகின்றன. வெருண்டு ஓடிவரும் காளையைக் கண்டதும் உண்டாகும் அச்சமானது சாதாரணமாக ஓடும் வேகத்தைவிட அதிக வேகத் ' துடன் ஓடும்படிசெய்துவிடுகிறது. பெட்ரோல் இல்லா மல் மோட்டார் ஓடாது ; அதுபோல் இயல்பூக்கங்கள் இல்லாமல் நம்முடைய வாழ்வு நடைபெற முடியாது. அதனுடன் இயல்பூக்கங்களை அழித்துவிட முடியாது. அவற்றை நுண்ணறிவாலும் பயிற்றலாலும் சமூக நலமாகிய உயரிய நோக்கத்தைப் பெறும்படி உயர் மடைமாற்றம் செய்து 'தகுந்த பற்றுக்களை (Sentiments) வளர்க்கலாம். இதுவே பயிற்றலின் முக்கிய நோக்கமாகும்.) இயல் வளைவுகளும் பரப்புக்களும் (Algebraic curvesand surfaces) : தொடர்ச்சியாக இயங்கும் ஒரு புள்ளியின் நியமப் பாதையை வளைவு கோடு அல்லது வளைவு என்போம். இயங்கும் இந்தப் புள்ளியின் ஸ்தானங்கள் யாவும் ஒரே தளத்தில் அமையு மானால் அதைத் தளவளைவு என்றும், அப்படி இல்லா விடின் அதை விசுவ வளைவு (Space curve) என்றும் கூறுவோம். ஒரு வளைவைப் பற்றி நாம் ஆராயுமுன் அதை இலட்சியப்படுத்த ஒரு முறை வேண்டும். தொகுப்புவடிவ கணிதத்தில் (Synthetic Geometry) வளைவை அதன் குணங்களால் இலட்சியப் படுத்து கிறோம். உதாரணமாக, நிலைத்த இரு புள்ளிகளிலிருந்து சமதூரமாக, ஒரு தளத்தில் இயங்கும் புள்ளியின் நிய மப்பாதை ஒரு வளைவைக் குறிக்கிறது. இதையே நேர் கோடு அல்லது வரை என்று கூறுவோம். தளத்திலுள்ள புள்ளிகளை எண் ஜதைகளால் (கொடுத்த 2 செங்கோட்டு நேர்குத்துக் கோட்டிலிருந்து உள்ள தொலைகளால்) குறிப்பிடும் ஆயத் தொலைமுறை டேகார்ட்டினால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அதன் படி ஒரு வளவை, அதன் மீதுள்ள புள்ளிகளின் ஆயத் தொலைகளுக்குள் உள்ள உறவினால் IF (x, V) =) என்று குறிப்பிடுகிறோம். இந்த வளைவு F=் என்ற சமன்பாட்டை விடுவிக்கும் எண் ஜதைகளால் மட்டும் ஆனது. F (x+ y) =() ஒரு 1 படிகோவை யானால் வளைவை ஒரு n படி இயல் வளைவு என்போம். இதேபோல் விட்சேப தளத்தின் (Projective plane) புள்ளிகளை (X | X; X ) என்ற எண் திரயங்களின் (Triads) விகிதங்களாலும், வளைவுகளை F (x 1 X - Xg) =) என்ற சமன்பாடுகளாலும் குறிப்பிடுகிறோம். (xy. X2. Xy), (RX1, RX2, RX3) இரண்டும் ஒரே புள்ளி யைக் குறிப்பதால் (x | X2 xs) எனும் எண் திரயம் F=0 என்ற சமன்பாட்டை விடுவித்தால் (RX1, Rxg, Rxs) உம் அதை விடுவிக்கவேண்டும். ஆகவே F ஓரினக் கோவையாக இருத்தல் வேண்டும். மெய்த் தளமாயிருந்தால் (Real plane) ஆயத்தொலைகள் யாவும் மெய்யெண்களாயும் ; மாயத்தளமாயிருந்தால் (Complex plane) மாய எண்க ளாயும் இருக்கும். நாம் எண்களை மாய எண்களாகவே கருதுவோம். இந்தப் பகுவியல் முறைகளில் (Analytical) முக்கிய மாகக் கவனிக்கவேண்டியது ஒன்றுளது. கொடுத்த ஒரு வளைவுக்குச் சமன்பாடு ஆயத்திட்டத்தைப் (Coordinate system) பொறுத்தது. ஆயத்திட்டம் மாறினால் வளைவின் சமன்பாடும் மாறும். இந்த
