________________
இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் 15 இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் மாறுதல்கள் யாவிலும் சமன்பாட்டுடன் ஒரே விதமான தில் உள்ள இருவிதங்களில் ஒன்றாக இருக்கும். இந்த தொடர்பு கொண்டுள்ள பண்புகளே வளைவின் பண்பு விதங்களில் P-ஐப் பிறை முனை அல்லது கணு என்று என்பது தெளிவு. உதாரணமாக F (x. X - X3) = கூறுவோம். P-ஐ rul: புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு ax - +bx== + c x : + 2 f xx X:: + 2g x: X 1 + 2 h x 1 x 2 என்ற கோவையினால் ஓர் ஆயத்திட்டத் தில் தரப்பட்ட வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். (x 1 x 2 xs) என்ற ஆய எண்கள் உடைய P என்ற ஒரு புள்ளிக்கு மற்றோர் - ஆயத்திட்டத்தில் (x'| x', x': ) பெயரானால் xi=ajlx'| Tai2x?'+ajsx'; என்ற உறவு இருக்கும். ஆகவே இந்த வளைவின் மீதிருக் கும் புள்ளிகளுக்குள் (x'| x'ex',) இரண்டாவது ஆயத்திட்ட த்தில் a {ay1 x' +a12 x'2+ays X:)" -......=() என்ற உறவு இருக்கும். இதை a' x'+......=) என்று திருப்பி எழுதுவோம். பொது வாக ata' ஆகையால் x" இன் கெழு a என்பது வளைவின் பண்பாகாது. ஆனால் a b c+2 f g h இயல் வளைவுகள் a fr-b gr-ch'=a' b'c'+2 f'g' h'-a' f - b'2 -ch'2 என்று எளிதாகச் சரி பார்க்க லாம். வளைவின் கெழுக்களைச் சிறிதே மாற்றினால் வரும் வளை ஆகவே இந்தக் கோவை Fன் பண்பாகக் கொள்ளக் r(r - 1)
- வுக்கு P அருகே - - கணுக்கள் இருக்கும். கூடியது. இந்தக் கோவை சுன்னமாவதே F=0 என்ற வளைவாகிய கூம்பியம் இரு கோடுகளாகப் பிரி ஆக வே (படி. புள்ளிகளை I (r - 1) 2 (அண்மை )க் கிற பண்பைக் குறிக்கும். ஆகவே இவ்வித மாறிலிக் கணுக்களுக்குச் சமமாகக் கருதுவது வழக்கம். இவ் கோவைகள் எத்தனை, அவைகளைக் கண்டுபிடிப்பது
கன். பவைகளைக் கண்டுபிடிப்பது விதம் கணித்த மொத்தக் கணுக்களின் தொகை 8 எப்படி என்று கவனிப்பது முக்கியமாகிறது. இந்த என்றும், பிறைமுனைகளின் தொகை * என்றும் வராய்ச்சியை மா பிலிக் கக்கவம் {Invariant குறிப்பிடப்படும். F=0 என்ற வளைவின் மீது P Theory) என்பர். என்ற புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம். அதனருகே P (a,b.c....),Q [a:h,c....) என்ற இரண்டு கோவை வளைவின் மீது Q என்று மற்றெரு புள்ளியை எடுத்துக் களும் F=axn+.... இன் மாறிலிகளானால், P+Q,P'! கொள் வோம். Q என்ற புள்ளி P.* நெருங்கினால் முதலியவைகளும் மாறிலிகள் என்பது தெரிகிறது. இவ் விதம் எல்லா மா றிலிகளும் மீதமான எண்ணிக்கை யுள்ள ஒருசில மாறீலிகளின் கோவைகளாகவே இருக் கும் என்ற முக்கியமான தேற்றத்தை கார்டன் (Gordon) கண்டுபிடித்தார். இதே தேற்றத்தை ஹில்பர்ட் சீர்கணத் தத்துவத்தை (Ideal Theory) உபயோ கித்து நிரூபித்தார். இதுவே பகுமுறை வடிவகணதத் திற்கு (Analytical Geometry) நவீன இயல் தத்து வத்தின் முதற் பயனாகும். இனிமேல் F-ன் மாறிலிகள் சிலவற்றைக் கவனிப் இயல் வளைவுகள் 'போம். முதலாவதாக F உடைய படி ஒரு மா ரலி. இதை நேரடியாகவும் சரிபார்க்கலாம், மேலும் P Q என்ற கோட்டின் இறுதிநிலையை P இன் தொடு 1x1+mx2+nx: =0 என்ற எந்த வரையும் Fஐச் வரை என்று கூறுவோம். இதன் சமன்பாடு சந்திக்கும் புள்ளிகள் படி சமன்பாட்டினால் தரப்படுவ IF தால், - சந்திப்புப் புள்ளிகளே உண்டு என்று தெரி X | + .......=0 என்று கணக்கிடலாம். இங்கு கிறது. நிச்சயமாக இது ஓர் ஆயத்திட்டத்தைச்' சாராத பண்பான தால் ) மாறிலி என்று ஏற்படுகிறது. +......என்ற F=0 என்ற nபடி வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். * து F1 (EL : :) இவை P=(x1X2X;) என்ற புள்ளியில் F உடைய X 1X2X; ஐப்பொருத்த படி சார்பு நுண்விகிதங் களில் ஒன் களுடைய மாறிலி என்பதும் கவனிக்கத்தக்கது. றாவது சுன்ன மல்லாமல் (r th order partial deri F=0இன் சாதாரண புள்ளியானால் க்கு ஒரு தொடு vatives) அதற்குக் கீழ்ப்ப டி நுண் விகிதங்கள் யாவும் வரை இருக்கும். ஆனால் - ஒரு கணுவானால் Q நகர் வதைப் பொறுத்து இரண்டு தொடுவரைகள் இருக்கும் சுன்ன மானால் P-ஐ F உடைய r-மடிப்புப் புள்ளி (மேல்படம் 2.) இதைக்கவனித்தால், துவந்த முறைப்படி (Singularity of order r) என்று கூறுவோம். நமக்கு மற்றொரு வளைவின் பண்பும் தெரிகிறது. F=0 இதன் விசேஷப் பண்பு யாதெனில் P வழியாகச் செல் இன்தொடுவரையான 1 என்ற வரை F=0-ஐ 2 புள்ளி லும் எந்த வரையும் F=0 என்ற வளைவை வெட்டும் களில் தொட நேரிடலாம். அப்படியானால் 1-ஐ இரட் 1) புள்ளிகளுள் r புள்ளிகள் P ஆகவே இருக்கும். ஆனால் டைத் தொடுவரை (கீழ்ப்படம் 2) என்போம். இந்த 2 அவற்றுள் சில [[க்கு அதிகமாகாத) வரைகளுக்கு மட் தொடு புள்ளிகளும், (பிறைமுனைக்குத் துவந்துவமாக), டும் அதிகப்படி சந்திப்புப் புள்ளிகள் P இல் அமையும். ஒரே புள்ளியாக இணைந்தால் (கீழ்ப்படம் 1) வளைவு மாறி இந்தப் பண்பிலிருந்தே, நாம் விவரித்த மடிப்பு எண் (Inflexion) என்று கூறுவோம். இரட்டைத் தொடு ணிக்கை ஆயமாற்றங்களினால் மாறாது என்பது புலனா வரை, வளைவுமாறி இவைகளின் எண்ணிக்கை முறையே கும். r=2 ஆனால், P அருகே வளைவு, பக்கத்தில் படத் T, i என்று குறிக்கப்படும். பொதுவான எந்த வரையும்
