________________
இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் 16) இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் (Adjoin வகைகள் இர மற்ற 2 0 –3K; களிலிருந்து (n-1) (n-2) இயல்வளைவை (n) எண்ணிக்கை உள்ள புள்ளிகளில் சந் மடிப்புப் புள்ளியாகக் கொண்ட (ஆகவே கணுக்கள் திக்கும் என்று பார்த்தோம். இதேபோல் வளைவுக்குத் வழியாகச் செல்லும்) வளைவுகளைத் துணை வளைவுகள் தளத்தின் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் வரையும் தொடு (Adjoint) என்போம். ஒரு வளைவுக்கும், அதனுடைய வரைகளின் எண்ணிக்கை நிலைத்ததாக இருக்கும். இதை ஒரு துணை வளைவுக்கும் பொதுவான (கணுக்களைத் m என்ற இலக்கத்தால் குறிப்பிடுவோம். இதை வளை தவிர்த்த) புள்ளிகளை இரண்டு கணங்களாகப் பிரித் வின் இனம் (Class) என்று கூறுவர். n. m, &, K, தால் ஒவ்வொரு கணமும் மற்றதின் எச்சம் (ResiT, i என்ற வளைவின் முக்கியமான பண்புகளுள் கீழ்க் dual) என்போம். வளைவின் மீதுள்ள S1, S2 என்ற கண்ட சமன்பாடுகள் உண்டு என்று புளூக்கர் (Pluc- புள்ளிக்கணங்கள் இரண்டும் மற்றோர் புள்ளிக்கணத் துக்கு எச்சமானால், 81, S2 துணையெச்சக் கணங்கள் ker) நிரூபித்திருக்கிறார். m= _ n( nI) -36-3k; (Coresidual) என்று கூறுவோம்; Si=S, என்று m(n-1) | இதைக் குறிப்பிடுவோம். St=s2 ஆனால் S1 +P= 1 -2 T- 31; i=3n (n - 2) s2+P முதலான சமன்பாடுகள் உண்மையாகும் என்று 66-8e; k =3m (m-2) - 6T-8i ஆகவே இவை நிரூபிக்கலாம். இவ்விதத் தேற்றங்களை நிரூபிக்க உதவு வது நேதர் (Noether) என்பாரின் கீழ்க்கண்ட களிலருது தேற்றம். F,G. H என்று மூன்று வளைவுகள் இருந்து, ? Fக்கு / மடிப்புப் புள்ளியாயும் Gக்கு Si மடிப்புப் {m-1) (m-2) -{[+i) (=P) என்று ஏற்படும். புள்ளியாயும் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் Hக்கு (r;+ 2 si-1) (அல்லது அதிக) மடிப்புப் புள்ளியானால், D என்ற இந்த எண் வளைவின் மிக முக்கியமான பண்பு HEAF+BG (A, B கோவைகள்). களுள் ஒன்றாம். F=0 (Fக்குக் காரணிகையில்லை) வளைவுகளில் கீழ்க்கண்ட பிரச்சினை கவனிக்கத் தக் என்ற படி. இயல் வளைவுக்குக் கணு, பிறை முனையின் கது. ஒரு வளைவின் P என்ற எந்தப் புள்ளி கொடுத்தா (n-1(n-2) எண்ணிக்கை | லும், அதற்குப் பிரதியோகியாக (Corresponding) '- ஐ விட அதிகமாகாது 2 P.' P,'...........P' n=என்ற புள்ளிகளை ஒரு நிய என்று நிரூபிக்கலாம். ஆகவே p ஆனது வளைவு திப்படி அடையமுடிகிறது என்றும், மேலும் P1' என்ற அடையக்கூடிய கணு, பிறைமுனை களின் எண்ணிக்கைக் எந்தப் பள்ளி கொடுத்தாலும் அதைப் பிரதியோகியா கும் அது அடைந்திருக்கும் எண்ணிக்கைக்கும் உள்ள கக் கொண்டு P.........Pm என்று m புள்ளிகள் வித்தியாசமாகிறது. இதுபற்றி p-ஐ வளைவின் குறை உண்டு என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். இவ்விதப் யம் (Deficiency or genus) என்று கூறுவர். பிரதியோகங்களுக்கு m n பிரதியோகம் என்று பெயர். மேலே விவரித்த பண்புகள் ஆயமாற்றங்களில் மாறா ஒரு பிரதியோகத்தில் P என்று எந்தப் புள்ளிக்காவது தவை என்று கவனித்தோம். x'=aj|x1+ai2X2+ P ஏ. ஒரு பிரதியோகியானால் அதை சுயம்பிரதியோகிப் aisx? என்ற சமன்பாடுகளை, (x | x. x: ) என்று ஓர் (Self - corresponding) புள்ளி என்று கூறுவோம். ஆயத்திட்டத்தில் குறிக்கப்படும் புள்ளியின் மற்றொரு P. Q என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு முறையே P...... ஆயத்திட்டத்தின் ஆய எண்களாக மாற்றும் சமன்பாடு Pm Q....... பிரதியோகங்களாக இருந்து P, களாகக் கருதலாம். இதையே ஒரே ஆயத்திட்டத்தில் +...... +Pm+tP=Q1......+Qm+tQ என்று (XXX ) என்று குறிக்கப்படும் புள்ளியை (x |' x?' எல்லாப் புள்ளி ஜதைகள் P, Qக்கும் அமையுமானால், x') என்று குறிக்கப்படும் புள்ளிக்கு அனுப்பும் ! என்ற எண்ணைப் பிரதியோகத்தின் மதியம் (Valவரை மாற்றமாகவும் கருதலாம். ஆகவே நாம் கவனித்த ence) என்று கூறுவோம். P-ஐக் குறையமாகக்கொண்ட பண்புகள் கொடுத்த வளைவிலிருந்து வரைமாற்றங்க ஒரு வளைவில் ( மதியம் ஆன mrn பிரதியோகம் ஒவ் ளால் கிடைக்கும் வளைவுகள் யாவற்றுக்கும் பொது வொன்றிலும் m+n-tpபுள்ளிகளே சுயம் பிரதியோகி வான பண்புகளே. யாக இருக்கும் என்பது சாஸ்ல்ஸ் (Chasles), பிரில் இதேபோல் தளத்தில் வரை மாற்றங்களுக்குப் பதி (Brill) என்பவர்களால் நிரூபிக்கப்பட்ட ஒரு முக்கிய லாக வேறு மாற்றங்களால் அடையும் வளைவுகளனைத் மான தேற்றம். இருபுற யுக்த மாற்றங்களில் m•n பிரதி துக்கும் பொதுவான குணங்களை விவரிக்கலாம். முக் யோகம், mrn பிரதியோகமாகவே ஆவதாலும், பிரதி கியமாக P=(x | , xx. xs) P'={x'1 X 2'x3') என்ற யோகத்தில் தனக்குத்தானே பிரதியோகியாகும் புள்ளி இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைகளும் மற்றதின் களின் எண்ணிக்கை m+n-tpயும், அதேபோல் அதன் கோவைகளாக அமையுமானால் (அதாவது xi=f (x)' மதியமும்(t)மாறாமல் இருக்குமா தலாலும், குறையமான x,'xs'); xi' =pi (x 1 x 2 x;}); fj, Pi கோவை P யும் ஒருமாறிலி என்று இதிலிருந்து விளங்குகிறது. கள் என்றிருந்தால்) P-ஐ P' ஆக்கும் 'இருபுற யுக்த Fi=0, F2=0,...Fr=0 என்பவை கொடுத்த மாற்றம்' (Birational transformations) எனப் சில n படி வளைவுகளானால் A1 F1+A2 F....... படும் மாற்றங்கள் கணிதவல்லார் களால் அதிகம் ஆரா +Ar Fr=0 என்பவைகள் இவைகளுடன் வரை யப்பட்டது. ஓர் இயல் வளைவுக்கும் அதன் இருபுற சார்ந்த வளைவுகள் என்று கூறுவோம். இவ்விதம் யுக்த மாற்றங்கள் யாவுக்கும் பொதுவான புண்புகளை எழுத இயலாத வளைவுகளை F.Fr உடன் வரை ஆராயும் பகுதியை இயல் வளைவுத் தத்துவம் (Theory சாராத (Linearly independent) வளைவுகள் என்று of Algebraic curves) என்று கூறுவார்கள். கூறுவோம். எந்த படி இயல் வளைவுக்கும் பரஸ்பரம் இவ்விதப் பண்புகளில் முக்கியமானது முன்பு கூறப் வரை சாராமல் (n-3)-படி துணை வளைவுகள் பட்ட 'குறையும்' என்ற எண். இது இருபுற யுக்த p எண்ணிக்கை உண்டு. [இவைகளை விசேஷத் துணை மாறிலி என்பது இயல் கரணங்களுடைய ரீமான் பரப்பு வளைவுகள் (Special adjoints) என்று கூறுவர்). களின் {Riemann surfaces of Algebraic func- இது குறையத்தைப் பற்றிய மற்றொரு முக்கியமான tions) குணங்களிலிருந்து நிரூபிக்க முடியும். தேற்றம். F=0 என்ற இயல் வளைவின் ( மடிப்புப் புள்ளிகள் வளைவின் வரைகணங்கள்; A1 F/ + A2 F2....... ஒவ்வொன்றையும் (r-1) (அல்லது இன்னும் அதிக) +Ar Fr=) என்ற வளைவு (1...Ar மாறும்
