________________
இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும் 17 இயலுருத் தோற்றம் போது) F=) என்ற வளவை வெட்டும் புள்ளிக் என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்ட புள்ளிக்கணத்தை கணங்களின் தொகுதியை வரைகணமாலிகை என் இயற்பரப்பு என்போம். வளைவுகளுக்குக் கணுக்கள் போம். இந்த வரை கணமாலிகை F.......Fr-ஆல் போல், பரப்புக்களுக்கு இரட்டை வளைவுகள்' உண்டு ஆன வளைவுத் தொகுதியால் வெட்டப்படுகிறது என் இவை பரப்பின் இரண்டு பாகங்கள் வெட்டிக்கொள் போம். எந்த வரை கணமாலிகையும் விசேஷத் துணை ளும் இடங்களே. இதேபோல் பரப்பின் மூன்று பாகங் வளைவுகளாலேயே வெட்டப்பட முடியும் என்று நிரூபிக் கள் வெட்டிக்கொண்டால் அவற்றை முக்கணு என்று கலாம். அதாவது F....... Frஐத் துணை வளைவுக கூறுவோம். எந்த இயற்பரப்பையும் இரட்டை வளை ளாகக் கருதலாம். வரைகணமாலிகைகளுக்கும் யுக்த வும், அதன் மேல் முக்கணுவும் தவிர வேறு விசேஷ பல மாற்றங்களுக்கும் (Rational transformations) மடிப்புப் புள்ளிகள் இல்லாத ஒரு பரப்பாக இருபடி-யுக்த மிகவும் நெருங்கின தொடர்பு உண்டு. F (x | x, மாற்றத்தினால் மாற்றலாம் என்று நிரூபிக்கலாம். xs)=0 என்ற வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். வளைவுகள் போலவே இயற்பரப்புக்களிலும், எங்கும் (x | X: X3 ) என்பது X | X2 X: இன் ஒரு யுக்த மிதமான இரட்டைத் தொகையங்களின் (Double கரணமாக (Rational function) இருக்கட்டும். integrals) எண்ண க்கை P, ஓர் இருபு றயுக்த மாறிலி பொதுவாக F=) இன் மேல் P, Q என்று எந்த என்று நிரூபிக்கலாம். F= () என்ற பரப்பையும் அதன் இரண்டு புள்ளிகளையும் எடுத்துக் கொண்டாலும் இரட்டை வளைவின்மீது செல்லும், G=0 என்ற மற்றொரு பரப்பையும் எடுத்துக்கொள்வோம். G=() f (x 1 x = X3) d P மிதமாகவே இருக்கும்; பர F=0 இன் முக்கணுக்கள் வழியே சென்றால், G-ஐ எண்ணாகாது என்று கூற முடியாது. இவ்விதம் கூற Fஇன் துணைப்பரப்பு (Adjoint surface)என்று கூறு வோம். பரஸ்பரம் வரை சாராத துணைப்பரப்புக்களின் முடியுமானால் 1 - ஐ Fஇன் எங்கும் மிதமான தொகை எண்ணிக்கை p.யும் ஓர் இருபுறயுக்த மாறிலியாம். யம் (Everywhere finite integral) என்று கூறு ஆனால் பொதுவாக p. pa. இவற்றின் வித்தியாசம் பரப்புக்கு மிகவும் முக்கியமான ஒரு மாறிலி வோம். xF என்ற கோவை F க்கு விசே யாகிறது. எம். வே. DX நூல்க ள் : H. F. Baker, Frinciples of Geometry Vel, ஷத் துணைக்கோவையாக இருந்தால் தான் ஓர் எங் 6; J. L. Coolidge, Algebraic Curves ; J. L. Walker, Algebraic Plane Curres. கும் மிதமான தொகையமாகும் என்று நிரூபிக்க முடி யும். இதிலிருந்து ஒரு வளைவுக்குப் பரஸ்பரம் வரை இயலுருத் தோற்றம் (Perspective) : நம் சாராமல் p எண்ணக்கை எங்கும் மிதமான தொகை முன் னே உள்ள ஒரு பொருள் நமது கண்ணுக்கு எவ் யங்களே உண்டு என்பது தெரிகிறது. வாறு தோன்றுகிறதோ அவ்வாறு அதைச் சமதளமான தளத்திலோ அல்லது விசுவத்திலோ ஒரு வளைவை பரப்பான் மேல் காட்டும் கலை இயலுருத் தோற்றம் எடுத்துக்கொள்வோம். உதாரணமாக விசுவத்தில் எனப்படும். ஒரு பொருளை நாம் பார்க்கும்போது அது F(xyz)=0, (xyz)=0 என்று சமன்பாடுகளால் அருகிலிருக்குமானால் பெரிதாகவும், தொலைவில் செல் கார்ட்டீரிய ஆயத்திட்டத்தில் தரப்பட்ட வளைவை லச் செல்லச் சிறிதாகிக் கொண்டே போவது போலவும் எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த வளைவின் வழியே தோன்றுகிறது என்ற விதி இதற்கு அடிப்படையாக செல்லும் G(x, y, z) = () என்ற எல்லாப் பரப்புக் உள்ளது. தெருவோரங்களிலுள்ள விளக்குத் தூண்கள் களையும் (அல்லது அவற்றின் கோவைகளையும்) ஒரே உயரமுள்ளவை யாயினும் சமீபத்திலுள்ளவை கொண்ட கணத்துக்குக் கீழ்க்கண்ட விசேஷங்கள் பெரியனவாகவும், தொலைவில் உள்ளவை சிறியனவாக உண்டு . G, G, இரண்டும் கணத்திலிருந்து', H., H.. வும் தோன்றுகின் றன. தூரம் காரணமாக இன்னொரு எந்தக் கோவைகளானாலும் G H + G, H, மா று த ஒம் நமக்குத் தோன்றுகிறது. தொலைவிலுள்ள என்ற கோவைகள் யாவும் இந்தக் கணத்திலிருக்கும். பொருள்களைக் காற்றிலுள்ள தூசும் நீராவியும் மறைப் இவ்விதக் கோவைக் கணங்களைச் சீர்கணம் (Ideal) பதால் அவை தெளிவற்றுக் காண்கின்றன. ஒரு படத் என்று கூறுவர், வளைவினுடைய இருபுற யுக்த மாறிலி தில் பலவேறு தொலைவுகளிலுள்ள பொருள்களைக் களில் இந்தச் சீர்கணம் ஒன்று என்று நிரூபிக்கலாம். காட்ட அருகி லுள்ளவற்றை அழுத்தமான வரைக இது நவீன இயற்கணிதத்துக்கும் வளைவுகளின் தத்து ளாலும், செறிவுள்ள நிறங்களாலும் காட்டி, இந்த வத்துக்கும் பிணைப்பான முக்கிய விஷயங்களில் ஒன்று. அழுத்தத்தையும் செறிவையும் தக்கபடி குறைத்துத் இருபுறயுக்த மாற்றங்களைப் பற்றிக் கூறினோம். தொலைவிலுள்ள பொருள்களைக் காட்ட வேண்டும். இவை எப்படிப்பட்டவை என்றும் ஆராய்ந்திருக்கிறார் ஆகையால் இயலுருத் தோற்றத்தில் இருவகை கள். P, Q, R, S என்ற நான்கு புள்ளிகள் வழி யுண்டு. தொலைவைப் பொறுத்துத் தோற்ற அளவு சிறி யாகச் செல்லும் கூம்பியங்களை எடுத்துக்கொள்வோம். தாவதைக் காட்டுவதைக் கோட்டு இயலுருத் தோற் தளத்தில் உள்ள X என்ற எந்தப் பொதுப்புள்ளிக்கும், றம் (Linear P.) என்றும், பொருளின் தெளிவு குறைவ இந்தக் கூம்பியங்கள் அனைத்திலும் துணையாக (Con' தைக் காட்டுவதைப் பரப்பு இயலுருத் தோற்றம் jugate) X' என்று ஒரே புள்ளி உண்டு. Xஐx" ஆக் (Aerial P.) என்றும் சொல்வர். இவற்றுள் முதலா கும் மாற்றத்தை இரு படி மாற்றம் (Quadratic வதே சித்திரம் வரை தலிலும், பொருள்களைப் படத்தில் Transformation) என்று கூறுவோம். எந்த இரு காட்டுவதிலும் முக்கியமானது. புறயுக்த மாற்றமும் சில வரை மாற்றம், அல்லது இரு கோட்டு இயலுருத் தோற்றத்தில் படம் வரையும் படி மாற்றங்கள் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக ஏற்படுவதால் முறையை அறிய ஒரு கண்ணாடிச் சன்னலின் முன் உண்டாகும் என்று நிரூபித்திருக்கிறார்கள். நின்றுகொண்டு, ஒரு கண்ணை மூடி, மற்றொரு கண்ணை பரப்புக்கள் : தளத்தில் கார்ட்டீஷிய ஆயத்திட்டத் நிலையாக வைத்துக்கொண்டு காணப்படும் பொருளின் தில் F (xy)=0 (Fn-படி கோவை) என்பது ஓர் உருவத்தைக் கண்ணாடியின்மேல் எழுதினால் அப் 'இயல் வளைவு' என்பது போல், விசுவத்தில் F(xyz)=0 படம் பொருளின் இயலுருத் தோற்றமாகும். இப்
