கலைக்களஞ்சியம்/ஆயிலர் எண்கள்

ஆயிலர் எண்கள் (Euler's Numbers) : சில தொடரிகளின் தொகுப்பைக் கணக்கிட உதவும் இவ்வெண்களின் பயனை முதலில் ஆயிலர் என்ற கணித அறிஞர் கண்டறிந்து கூறியதால், இவை அவர் பெயரால் வழங்குகின்றன. இவை பெர்னோலி எண்களுடன் (த. க.) தொடர்பு உள்ளவை. பின் வரும் மடங்குச் சூத்திரத்திலிருந்து இவற்றின் மதிப்புக்களை அறியலாம்.
E₀ = 1; E₁ = 0
E_n + n(n-1)/2!E_n-2 + n(n-1) (n-2) (n-3)/4!E_n-4 + …… = 0 {n=1,2,…}

ஆகையால், தொகுத்தறி முறையால் n ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருக்கும் போது, E_n = 0 என்றும், E_n எப்போதும் முழு எண்ணாக இருக்கும் என்றும் தெளிவாகிறது.

மேற்கூறிய தொடர்பிலிருந்து

E₂ = -1, E₄ = 5, E₆ = -61 E₈ = 1385, E₁₀ = - 50521 எனக் கணக்கிடலாம்.

சீக்கன்ட் x என்ற சார்பலனை விரித்தும் ஆயிலர் எண்களைப் பெறலாம். சீக்கன்ட் x = 1 - E₂x²/2! + E₄x⁴/4! - ……… பூச்சியம் ஆகாத ஆயிலர் எண்களின் இறுதி இலக்கம் 1 அல்லது 5 ஆகும். பூச்சியமாகாது அடுத்துள்ள இரு ஆயிலர் எண்களின் தொகை 3ஆல் வகுபடும். பு. கே. மே