இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும்
15
இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும்
மாறுதல்கள் யாவிலும் சமன்பாட்டுடன் ஒரேவிதமான தொடர்பு கொண்டுள்ள பண்புகளே வளைவின் பண்பு என்பது தெளிவு. உதாரணமாக F (x, x3 x3)= ax1 2+ b x22 + cxs2 +2fx2 x3 + 2g x3 X1 +2 h x1 x2 என்ற கோவையினால் ஓர் ஆயத்திட்டத்தில் தரப்பட்ட வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். (x1 x2 x3 ) என்ற ஆய எண்கள் உடைய P என்ற ஒரு புள்ளிக்கு மற்றோர் ஆயத்திட்டத்தில் (x'1 x'2 x'3) பெயரானால் xi=a11x'1+a12x2' + a10x'3 என்ற உறவு இருக்கும். ஆகவே இந்த வளைவின் மீதிருக்கும் புள்ளிகளுக்குள் (x'1 x'2x'3) இரண்டாவது ஆயத்திட்டத்தில் a (a11x x'1+a12 x'2 +a13 x3)2 +....=0 என்ற உறவு இருக்கும். இதை a'x'1 3+..... = 0 என்று திருப்பி எழுதுவோம். பொதுவாக a≠a' ஆகையால் X2 இன் கெழு a என்பது வளைவின் பண்பாகாது. ஆனால் a b c+2f gh — a f2 —bg2—ch2= a' b' c'+2 f' g' h' —a'f'2— b' g'2—c'h'2 என்று எளிதாகச் சரி பார்க்கலாம். ஆகவே இந்தக் கோவை F.ன் பண்பாகக் கொள்ளக்கூடியது. இந்தக் கோவை சுன்னமாவதே F=O என்ற வளைவாகிய கூம்பியம் இரு கோடுகளாகப் பிரிகிற பண்பைக் குறிக்கும். ஆகவே இவ்வித மாறிலிக் கோவைகள் எத்தனை, அவைகளைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்று கவனிப்பது முக்கியமாகிறது. இந்த ஆராய்ச்சியை மாறிலித் தத்துவம் (Invariant Theory) என்பர்.
P (a,b,c....),Q (asb.c....) என்ற இரண்டு கோவைகளும் F=axn+....இன் மாறிலிகளானால். P+Q, P2 முதலியவைகளும் மாறிலிகள் என்பது தெரிகிறது. இவ்விதம் எல்லா மாறிலிகளும் மிதமான எண்ணிக்கையுள்ள ஒருசில மாறிலிகளின் கோவைகளாகவே இருக்கும் என்ற முக்கியமான தேற்றத்தை கார்டன் (Gordon) கண்டுபிடித்தார். இதே தேற்றத்தை ஹில்பர்ட் சீர்கணத் தத்துவத்தை (Ideal Theory) உபயோகித்து நிரூபித்தார். இதுவே பகுமுறை வடிவகணிதத்திற்கு (Analytical Geometry) நவீன இயல் தத்துவத்தின் முதற் பயனாகும்.
இனிமேல் F-ன் மாறிலிகள் சிலவற்றைக் கவனிப்போம். முதலாவதாக F உடைய படி ஒரு மாறிலி. இதை நேரடியாகவும் சரிபார்க்கலாம். மேலும் lx1 +mx2 +nx3=O என்ற எந்த வரையும் Fஐச்சந்திக்கும் புள்ளிகள் nபடி சமன்பாட்டினால் தரப்படுவதால், π சந்திப்புப் புள்ளிகளே உண்டு என்று தெரிகிறது. நிச்சயமாக இது ஓர் ஆயத்திட்டத்தைச் சாராத பண்பானதால் மாறிலி என்று ஏற்படுகிறது.
F = o என்ற nபடி வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம், P = (x1x2x3) என்ற புள்ளியில் F உடைய x1x2x3 ஐப்பொருத்த I படி சார்பு நுண்விகிதங்களில் ஒன்றாவது சுன்னமல்லாமல் (r th order partial derivatives) அதற்குக் கீழ்ப்படி நுண் விகிதங்கள் யாவும் சுன்னமானால் P-ஐ F உடைய r-மடிப்புப் புள்ளி (Singularity of order r) என்று கூறுவோம். இதன் விசேஷப் பண்பு யாதெனில் P வழியாகச் செல்லும் எந்த வரையும் F=0 என்ற வளைவை வெட்டும் n புள்ளிகளுள் r புள்ளிகள் P ஆகவே இருக்கும். ஆனால் அவற்றுள் சில [rக்கு அதிகமாகாத] வரைகளுக்கு மட்டும் அதிகப்படி சந்திப்புப் புள்ளிகள் Pஇல் அமையும். இந்தப் பண்பிலிருந்தே, நாம் விவரித்த மடிப்பு எண்ணிக்கை ஆயமாற்றங்களினால் மாறாது என்பது புலனாகும். r=2 ஆனால், P அருகே வளைவு, பக்கத்தில் படத்தில் உள்ள இருவிதங்களில் ஒன்றாக இருக்கும். இந்த விதங்களில் P-ஐப் பிறை முனை அல்லது கணு என்று கூறுவோம். P-ஐ Tபடி புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு
வளைவின் கெழுக்களைச் சிறிதே மாற்றினால் வரும் வளைவுக்கு P அருகே கணுக்கள் இருக்கும். ஆகவே rபடி புள்ளிகளை r (r-1)/2 (அண்மை)க் கணுக்களுக்குச் சமமாகக் கருதுவது வழக்கம். இவ்விதம் கணித்த மொத்தக் கணுக்களின் தொகை δ என்றும், பிறைமுனைகளின் தொகை K என்றும் குறிப்பிடப்படும். F = o என்ற வளைவின் மீது P என்ற புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம். அதனருகே வளைவின் மீது Q என்று மற்றொரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். என்ற புள்ளி P - ஐ நெருங்கினால்
PQ என்ற கோட்டின் இறுதிநிலையை Pஇன் தொடுவரை என்று கூறுவோம். இதன் சமன்பாடு
களுடைய மாறிலி என்பதும் கவனிக்கத்தக்கது. F=0இன் சாதாரண புள்ளியானால் Pக்கு ஒரு தொடுவரை இருக்கும். ஆனால் p ஒரு கணுவானால் Q நகர்வதைப் பொறுத்து இரண்டு தொடுவரைகள் இருக்கும் (மேல்படம் 2.) இதைக்கவனித்தால், துவந்த முறைப்படி, நமக்கு மற்றொரு வளைவின் பண்பும் தெரிகிறது. F=0 இந்தொடுவரையான 1 என்ற வரை F=0-ஐ 2 புள்ளிகளில் தொட நேரிடலாம். அப்படியானால் 1-ஐ இரட்டைத் தொடுவரை (கீழ்ப்படம் 2) என்போம். இந்த 2 தொடு புள்ளிகளும், (பிறைமுனைக்குத் துவந்துவமாக). ஒரே புள்ளியாக இணைந்தால் (கீழ்ப்படம் 1) வளைவுமாறி (Inflexion) என்று கூறுவோம். இரட்டைத் தொடுவரை, வளைவுமாறி இவைகளின் எண்ணிக்கை முறையே T. i ஏன்று குறிக்கப்படும். பொதுவான எந்த வரையும்
