பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/34

இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும்

16

இயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும்

இயல்வளைவை (n) எண்ணிக்கை உள்ள புள்ளிகளில் சந்திக்கும் என்று பார்த்தோம். இதேபோல் வளைவுக்குத் தளத்தின் எந்தப் புள்ளியிலிருந்தும் வரையும் தொடுவரைகளின் எண்ணிக்கை நிலைத்ததாக இருக்கும். இதை m என்ற இலக்கத்தால் குறிப்பிடுவோம். இதை வளைவின் இனம் (Class) என்று கூறுவர் . n, m, δ, k, T, i என்ற வளைவின் முக்கியமான பண்புகளுள் கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகள் உண்டு என்று புளூக்கர் (Plucker) நிரூபித்திருக்கிறார். m= ${\frac {n(n-1)}{2}}$—3 δ-3_ki n= ${\frac {m(m-1)}{2}}$—2 T- 3i; i=3_n (n-2)- 6δ-8k; k=3_m (m-2)- 6T-8i ஆகவே இவைகளிலிருந்து ${\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ -(δ+8) = ${\frac {(m-1)(m-2)}{2}}$-(I-2) (=p) என்று ஏற்படும். p என்ற இந்த எண் வளைவின் மிக முக்கியமான பண்புகளுள் ஒன்றாம். F =o (Fக்குக் காரணிகையில்லை) என்ற nபடி இயல் வளைவுக்குக் கணு, பிறை முனையின் எண்ணிக்கை ${\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ ஐ விட அதிகமாகாது என்று நிரீபிக்கலாம். ஆகவே p ஆனது வளைவு அடையக்கூடிய கணு, பிறைமுனைகளின் எண்ணிக்கைக்கும் உள்ள வித்தியாசமாகிறது. இதுபற்றிp-ஐ வளைவின் குறையம் (Deficiency or genus) என்று கூறுவர்.

மேலே விவரித்த பண்புகள் ஆயமாற்றங்களில் மாறாதவை என்று கவனித்தோம். xi' =a₁₁x₁ + a₁₂X₂+ ai₃x₃ என்ற சமன்பாடுகளை, (x₁ x₂x₃ ) என்று ஓர் ஆயத்திட்டத்தில் குறிக்கப்படும் புள்ளியின் மற்றொரு ஆயத்திட்டத்தின் ஆய எண்களாக மாற்றும் சமன்பாடுகளாகக் கருதலாம். இதையே ஒரே ஆயத்திட்டத்தில் (x₁ x₂ x₃ ) என்று குறிக்கப்படும் புள்ளியை (x₁' x₂' x₃' ) என்று குறிக்கப்படும் புள்ளிக்கு அனுப்பும்வரை மாற்றமாகவும் கருதலாம். ஆகவே நாம் கவனித்த பண்புகள் கொடுத்த வளைவிலிருந்து வரைமாற்றங்களால் கிடைக்கும் வளைவுகள் யாவற்றுக்கும் பொதுவான பண்புகளே.

இதேபோல் தளத்தில் வரை மாற்றங்களுக்குப் பதிலாக வேறு மாற்றங்களால் அடையும் வளைவுகளனைத்துக்கும் பொதுவான குணங்களை விவரிக்கலாம். முக்கியமாக P = (x₁, X₂, X₃) P' = (x'1x2'xs') என்ற (x₁' x₂' x₃' ) இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைகளும் மற்றதின் கோவைகளாக அமையுமானால் [அதாவது xi=f₁ (x₁' x₂'x₃'); xi'= Φi கோவைகள் என்றிருந்தால்] P-ஐ P' ஆக்கும் 'இருபுற யுக்த மாற்றம்' (Birational transformations) எனப்படும் மாற்றங்கள் கணிதவல்லார்களால் அதிகம் ஆராயப்பட்டது. ஓர் இயல் வளைவுக்கும் அதன் இருபுற யுக்த மாற்றங்கள் யாவுக்கும் பொதுவான பண்புகளை ஆராயும் பகுதியை இயல் வளைவுத் தத்துவம்(Theory of Algebraic curves) என்று கூறுவார்கள்.

இவ்விதப் பண்புகளில் முக்கியமானது முன்பு கூறப்பட்ட 'குறையும்' என்ற எண். இது இருபுற யுக்த மாறிலி என்பது இயல் கரணங்களுடைய ரீமான் பரப்புகளின் (Riemann surfaces of Algebraic func tions) குணங்களிலிருந்து நிரூபிக்க முடியும்.

F=O என்ற இயல் வளைவின் rமடிப்புப் புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் (r-1) (அல்லது இன்னும் அதிக மடிப்புப் புள்ளியாகக் கொண்ட (ஆகவே கணுக்கள் வழியாகச் செல்லும்) வளைவுகளைத் துணை வளைவுகளை(Adjoint) என்போம். ஒரு வளைவுக்கும், அதனுடைய ஒரு துணை வளைவுக்கும் பொதுவான (கணுக்களைத் தவிர்த்த) புள்ளிகளை இரண்டு கணங்களாகப் பிரித்தால் ஒவ்வொரு கணமும் மற்றதின் எச்சம் (Residual) என்போம். வளைவின் மீதுள்ள S₁,S₂ என்ற புள்ளிக்கணங்கள் இரண்டும் மற்றோர் புள்ளிக்கணத்துக்கு எச்சமானால், S₁,S₂ துணையெச்சக் கணங்கள் (Coresidual) என்று கூறுவோம்; S₁ ≡ S₂ என்று இதைக் குறிப்பிடுவோம். S₁ ≡ S₂ ஆனால் S₁ + P ≡ s₂+ P முதலான சமன்பாடுகள் உண்மையாகும் என்று நிரூபிக்கலாம். இவ்விதத் தேற்றங்களை நிரூபிக்க உதவுவது நேதர் (Noether) என்பாரின் கீழ்க்கண்ட தேற்றம். "F,G, H என்று மூன்று வளைவுகள் இருந்து Fக்கு r₁ மடிப்புப் புள்ளியாயும் Gக்கு S_i மடிப்புப் புள்ளியாயும் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் Hக்கு (r₁+ s_i) மடிப்புப் பிள்ளியானால் H≡ AF + BG (A, B கோவைகள்)."

வளைவுகளில் கீழ்க்கண்ட பிரச்சினை கவனிக்கத் தக்கது. ஒரு வளைவின் P என்ற எந்தப் புள்ளி கொடுத்தாலும், அதற்குப் பிரதியோகியாக (Corresponding) P₁' P₂'....... p' n = என்ற n புள்ளிகளை ஒரு நியதிப்படி அடையமுடிகிறது என்றும், மேலும் P₁' என்ற எந்தப் புள்ளி கொடுத்தாலும் அதைப் பிரதியோகியாகக் கொண்டு p₁....... Pm என்று m புள்ளிகள் உண்டு என்றும் வைத்துக் கொள்வோம். இவ்லிதப் பிரதியோகங்களுக்கு m n பிரதியோகம் என்று பெயர். ஒரு பிரதியோகத்தில் P என்று எந்தப் புள்ளிக்காவது p ஏ. ஒரு பிரதியோகியானால் அதை சுயம்பிரதியோகிப் (Self - corresponding) புள்ளி என்று கூறுவோம். p. Q என்ற இரண்டு புள்ளிகளுக்கு முறையே P_I.....Pm' Q₁......Q_m பிரதியோகங்களாக இருந்து P₁ +...... +P_m +tP ≡ Q₁..... +Q_m +tQ என்று எல்லாப் புள்ளி ஜதைகள் P, Qக்கும் அமையுமானால், t என்ற எண்ணைப் பிரதியோகத்தின் மதியம் (Valence) என்று கூறுவோம். p-ஐக் குறையமாகக்கொண்ட ஒரு வளைவில் t மதியம் ஆன m -n பிரதியோகம் ஒவ்வொன்றிலும் m+n-tp புள்ளிகளே சுயம் பிரதியோகியாக இருக்கும் என்பது சாஸ்ல்ஸ் (Chasles), பிரில் (Brill) என்பவர்களால் நிரூபிக்கப்பட்ட ஒரு முக்கியமான தேற்றம். இருபுற யுக்த மாற்றங்களில் m-n பிரதியோகம், m-n பிரதியோகமாகவே ஆவதாலும், பிரதியோகத்தில் தனக்குத்தானே பிரதியோகியாகும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை m+n-tpயும், அதேபோல் அதன் மதியமும்(t)மாறாமல் இருக்குமாதலாலும், குறையமான p யும் ஒருமாறிலி என்று இதிலிருந்து விளங்குகிறது.

F₁ ≈ 0, F2 ≈ 0.... F_r=0 என்பவை கொடுத்த சில n படி வளைவுகளானால் λ₁ F₁ + λ₂ F₂...... +A_r F_r=0 என்பவைகள் இவைகளுடன் வரை சார்ந்த வளைவுகள் என்று கூறுவோம். இவ்விதம் எழுத இயலாத வளைவுகளை F₁... F_r உடன் வரை சாராத (Linearly independent) வளைவுகள் என்று கூறுவோம். எந்த n படி இயல் வளைவுக்கும் பரஸ்பரம் வரை சாராமல் (n—3)-படி துணை வளைவுகள் p என்ற எண்ணிக்கை உண்டு. [இவைகளை விசேஷத் துணை வளைவுகள் (Special adjoints) என்று கூறுவர்]. இது குறையத்தைப் பற்றிய மற்றொரு முக்கியமான தேற்றம்.

அளைவின் வரைகணங்கள் λ₁ F₁ + λ₂ F₂...... +λT F1=0 என்ற வளைவு (λ₁...λ₂ மாறும்