பக்கம்:கலைக்களஞ்சியம் 2.pdf/35

பயல்வளைவுகளும் பரப்புக்களும்

17

இயலுருத் தோற்றம்

போது ) F=0 என்ற வளைவை வெட்டும் புள்ளிக் கணங்களின் தொகுதியை வரைகணமாலிகை என்போம். இந்த வரைகணமாலிகை F₁......F_rஆல் ஆன வளைவுத் தொகுதியால் வெட்டப்படுகிறது என்போம். எந்த வரைகணமாலிகையும் விசேஷத் துணை வளைவுகளாலேயே வெட்டப்பட முடியும் என்று நிரூபிக்கலாம். அதாவது F₁......F_rஐத் துணை வளைவுகளாகக் கருதலாம். வரைகணமாலிகைகளுக்கும் யுக்த மாற்றங்களுக்கும் (Rational transformations) மிகவும் நெருங்கின தொடர்பு உண்டு. F (x₁ X₂ x_s) = 0 என்ற வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். Φ (x₁ x₂ x₃ ) என்பது x₁ x₂ x₃ இன் ஒரு யுக்த கரணமாக {Rational function) இருக்கட்டும். பொதுவாக F = 0 இன்மேல் P, Q என்று எந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் எடுத்துக் கொண்டாலும்∮^o_p (x₁ x₂ x₃) d P மிதமாகவே இருக்கும்; பர எண்ணாகாது என்று கூற முடியாது. இவ்விதம் கூற முடியுமானால் ∮ Φ ஐ F இன் எங்கும் மிதமான தொகையம் (Everywhere finite integral) என்று கூறுவோம். Φ x ∂F/∂x என்ற கோவை Fக்கு விசேஷத் துணைக்கோவையாக இருந்தால் தான் ∮ Φ ஓர் எங்கும் மிதமான தொகையமாகும் என்று நிரூபிக்க முடியும். இதிலிருந்து ஒரு வளைவுக்குப் பரஸ்பரம் வரை சாராமல் p எண்ணிக்கை எங்கும் மிதமான தொகையங்களே உண்டு என்பது தெரிகிறது.

தளத்திலோ அல்லது விசுவத்திலோ ஒரு வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். உதாரணமாக விசுவத்தில் F(xyz)=0, Φ (xyz) = 0 என்று சமன்பாடுகளால் கார்ட்டீஷிய ஆயத்திட்டத்தில் தரப்பட்ட வளைவை எடுத்துக்கொள்வோம். இந்த வளைவின் வழியே செல்லும் G(x, y, z) = 0 என்ற எல்லாப் பரப்புக்களையும் (அல்லது அவற்றின் கோவைகளையும்) கொண்ட கணத்துக்குக் கீழ்க்கண்ட விசேஷங்கள் உண்டு. G₁ G₂ இரண்டும் கணத்திலிருந்து , H₁, H₂, எந்தக் கோவைகளானாலும் G₁, H₂ + G₁, H₂ என்ற கோவைகள் யாவும் இந்தக் கணத்திலிருக்கும். இவ்விதக் கோவைக் கணங்களைச் சீர்கணம் (Ideal) என்று கூறுவர். வளைவினுடைய இருபுறயுக்த மாறிலிகளில் இந்தச் சீர்கணம் ஒன்று என்று நிரூபிக்கலாம். இது நவீன இயற்கணிதத்துக்கும் வளைவுகளின் தத்துவத்துக்கும் பிணைப்பான முக்கிய விஷயங்களில் ஒன்று.

இருபுறயுக்த மாற்றங்களைப் பற்றிக் கூறினோம். இவை எப்படிப்பட்டவை என்றும் ஆராய்ந்திருக்கிறார்கள். P, Q, R, S என்ற நான்கு புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் கூம்பியங்களை எடுத்துக்கொள்வோம். தளத்தில் உள்ள X என்ற எந்தப் பொதுப்புள்ளிக்கும், இந்தக் கூம்பியங்கள் அனைத்திலும் துணையாக (Conjugate) X' என்று ஒரே புள்ளி உண்டு. Xஐx ¹ ஆக்கும் மாற்றத்தை இரு படி மாற்றம் (Quadratic Transformation) என்று கூறுவோம். எந்த இரு புறயுக்த மாற்றமும் சில வரை மாற்றம், அல்லது இரு படி மாற்றங்கள் ஒன்றன்பின் ஒன்றாக ஏற்படுவதால் உண்டாகும் என்று நிரூபித்திருக்கிறார்கள்.

பரப்புக்கள்: தளத்தில் கார்ட்டீஷிய ஆயத்திட்டத்ததில் F (xy)=0 (Fn-படி கோவை) என்பது: ஓர் 'இயல் வளைவு' என்பதுபோல், வீசுவத்தில் F(xy₂) =0 என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்ட புள்ளிக்கணத்தை இயற்பரப்பு என்போம். வளைவுகளுக்குக் கணுக்கள் போல், பரப்புக்களுக்கு 'இரட்டை வளைவுகள்' உண்டு இவை பரப்பின் இரண்டு பாகங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் இடங்களே. இதேபோல் பரப்பின் மூன்று பாகங்கள் வெட்டிக்கொண்டால் அவற்றை முக்கணு என்று கூறுவோம். எந்த இயற்பரப்பையும் இரட்டை வளைவும், அதன்மேல் முக்கணுவும் தவிர வேறு விசேஷ பல மடிப்புப் புள்ளிகள் இல்லாத ஒரு பரப்பாக இருபடியுக்த மாற்றத்தினால் மாற்றலாம் என்று நிரூபிக்கலாம்.

வளைவுகள் போலவே இயற்பரப்புக்களிலும், எங்கும் மிதமான இரட்டைத் தொகையங்களின் (Double integrals) எண்ணிக்கை p_a ஓர் இருபுறயுக்த மாறிலி என்று நிரூபிக்கலாம். F= 0 என்ற பரப்பையும் அதன் இரட்டை வளைவின்மீது செல்லும், G=0 என்ற மற்றொரு பரப்பையும் எடுத்துக்கொள்வோம். G=0 F = 0இன் முக்கணுக்கள் வழியே சென்றால், G-ஐ Fஇன் துணைப்பரப்பு (Adjoint surface) என்று கூறுவோம். பரஸ்பரம் வரை சாராத துணைப்பரப்புக்களின் எண்ணிக்கை p_gயும் ஓர் இருபுறயுக்த மாறிலியாம். ஆனால் பொதுவாக p_a≠p_g. இவற்றின் வித்தியாசம் பரப்புக்கு மிகவும் முக்கியமான ஒரு மாறிலியாகிறது. எம். வே.

நூல்கள்: H.F. Baker, Principles of Geometry Vol. 6; J. L. Coolidge, Algebraic Curves; J.L. Walker, Algebraic Plane Curves.

இயலுருத் தோற்றம் (Perspective) : நம் முன்னே உள்ள ஒரு பொருள் நமது கண்ணுக்கு எவ்வாறு தோன்றுகிறதோ அவ்வாறு அதைச் சமதளமான பரப்பின்மேல் காட்டும் கலை இயலுருத் தோற்றம் எனப்படும். ஒரு பொருளை நாம் பார்க்கும்போது அது அருகிலிருக்குமானால் பெரிதாகவும், தொலைவில் செல்லச் செல்லச் சிறிதாகிக் கொண்டே போவது போலவும் தோன்றுகிறது என்ற விதி இதற்கு அடிப்படையாக உள்ளது. தெருவோரங்களிலுள்ள விளக்குத் தூண்கள் ஒரே உயரமுள்ளவை யாயினும் சமீபத்திலுள்ளவை பெரியனவாகவும், தொலைவில் உள்ளவை சிறியனவாகவும் தோன்றுகின்றன. தூரம் காரணமாக இன்னொரு மாறுதலும் நமக்குத் தோன்றுகிறது. தொலைவிலுள்ள பொருள்களைக் காற்றிலுள்ள தூசும் நீராவியும் மறைப்பதால் அவை தெளிவற்றுக் காண்கின்றன. ஒரு படத்தில் பலவேறு தொலைவுகளிலுள்ள பொருள்களைக் காட்ட அருகிலுள்ளவற்றை அழுத்தமான வரைகளாலும், செறிவுள்ள நிறங்களாலும் காட்டி, இந்த அழுத்தத்தையும் செறிவையும் தக்கபடி குறைத்துத் தொலைவிலுள்ள பொருள்களைக் காட்ட வேண்டும்.

ஆகையால் இயலுருத் தோற்றத்தில் இருவகையுண்டு. தொலைவைப் பொறுத்துத் தோற்ற அளவு சிறிதாவதைக் காட்டுவதைக் கோட்டு இயலுருத் தோற்றம் (Linear P.) என்றும், பொருளின் தெளிவு குறைவதைக் காட்டுவதைப் பரப்பு இயலுருத் தோற்றம் (Aerial P.) என்றும் சொல்வர். இவற்றுள் முதலாவதே சித்திரம் வரைதலிலும், பொருள்களைப்படத்தில் காட்டுவதிலும் முக்கியமானது.

கோட்டு இயலுருத் தோற்றத்தில் படம் வரையும் முறையை அறிய ஒரு கண்ணாடிச் சன்னலின் முன் நின்றுகொண்டு, ஒரு கண்ணை மூடி, மற்றொரு கண்ணை நிலையாக வைத்துக்கொண்டு காணப்படும் பொருளின் உருவத்தைக் கண்ணாடியின்மேல் எழுதினால் அப்படம் பொருளின் இயலுருத் தோற்றமாகும். இப்-

2