________________
இயற் கணிதம் இயற் கணிதம் னெட்டு என்று கூறலாம். இயற்கணித முறையில், புக்கள் இவ்வித வடிவகணிதங்களின் ஆராய்ச்சியிற் இளையவன் வயது x என்றல், கொடுத்த நிபந் பயன்படுகின் றன. தனைகளின்படி 3. இயற்கணிதத்தின் தற்காலப்போக்கு : எண் கணங்களினாலும் புள்ளிகளாலான பிரதேசங்களின் x + (x - 4) = 40 அகப்பொருத்தங்களினாலும் (Transformations) '2 x - 4 = 40 ஆன கணங்களிடையே சில பிணகளும் உறவுகளும் 2 x = 40 - 4 = 36 நிறுவப்படுகின்றன. இவற்றைப் பொறுத்தவரை இக் x = *' = 13 கணங்களின் தன்மை எத்தகையது எனக் காணும் பிரச் என்று சொற்களின்றிச் சுருக்கமாக விடையைக் காண சினை நவீன இயற்கணிதத்தின் போக்கை விவரிக்க உரிய லாம். இப்படி +,-,x,+ எனும் பிணைக் குறிக உதாரணமாகும். இது தவிரச் 'சிறிது, பெரிது' என்று ளால் இணைக்கப்பட்ட எழுத்துக் குறிகள், எண் எண்களிடையே நிறுவும் கிரமப்படுத்தும் உறவு குறிகள் இவற்றாலான பல்லுறுப்பிகள் இரண்டின் சமன் (Ordering relation) கணங்களிடையே 'பெரிது, பாட்டைத் தீர்க்கும் வழியைக் காண்பது இயற்கணி சிறிது' எனக் கூறும் குறைக்கிரம உறவு (Partial தத்தில் ஒரு முக்கிய அமிசமாகும் (பார்க்க : சமன் Ordering relation) போன்ற அமைப்புக்களும் தற் பாடுகள்-சமன்பாடுகளின் தீர்வு). x +4=3 என்றும், காலத்து இயற்கணிதத்தில் கருதப்படுகின்றன.கணத்தி 3x+3=2. x+x=2 என்றும் உள்ள சமன்பாடுகளில் லுள்ள தனிமங்கள் (Elements) எத்தகையவை, அவை x'ன் மதிப்புக்காண வேண்டுமானால் முறையே ரிண எண்களா, அகப்பொருத்தங்களா என்று குறிக்காமல் எண்களையும், பின்னங்களையும், பின்னங்களில்லா சில பிணைகளையும் உறவுகளையும் பொறுத்துக் கணத் வாஸ்தவ எண்களையும் கொண்டே மதிப்புக் காண தின் தனிமங்கள் எப்படிப்பட்ட விதிகளுக்குட்பட்டன லாம். ஆதலால் இத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் என்று மாத்திரம் குறித்து, அவ்விதிகளினின்று மற்றத் காண எண்வகைகளை மேலும் - மேலும் பெருக்கிக் தேற்றங்களைக் காணுதல் தற்கால இயற்கணித முறை கொண்டு போக வேண்டியிருக்கிறது. இத்தகைய யாகும். தற்கால இயற்கணிதம் இத்தகைய ஆராய்ச்சி எண் வகைகளின் கூட்டல், பெருக்கல் முதலிய பிணை யால் பலவிதமான கணங்களுக்குப் பொதுவாக உள்ள களையும், சமன்பாடு, சமனின்மை என்ற உறவுகளையும் பண்புகளைப் பொதுப்படுத்திக் கூறி, அவற்றைத் தனித் நிறுவுதலும் இயற்கணிதத்தில் ஒரு பாகமாகும். தனியே பல முறை நிறுவ அவசியமின்றிச் செய்கிறது. (தன) முழு எண் எதையும் பிரதம எண்களின் பெருக்குத் தொகையாக (ஒரே ஒரு விதத்தில்) அடைய நூல்க ள் : Baraard & Child, Higher Algebra; முடியும் என்பது எண் கணிதத்தில் காணும் தேற்றங் Birkhoff & Machane, Survey of Modern Algebra: R. Courant, What is Mathematics; Kloin, Elementary களில் ஒன்று . (உம். 34=2X17, 70=2X5XT | Mathematirs from an Advanced Tiewpoint - Vol. 2, 120=2x2x2x3X5). இத்தகைய தேற்றப் பயனை Arithmetic and Algebra. யும், இதனையொத்த தேற்றங்களை வேறு சில இயற் கணித அமைப்புக்களில் நிறுவுதலும் நவீன இயற் நவீன இயற் கணிதம் (Modern Algebra) : கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய பாகமாகும். 1. நீளமாகவும் சிக்கலாகவும் தோன்றும் கணிதக் 2. வடிவகணிதமும் இயற்கணிதமும்: வடிவ கேள்விகளை எழுத்துக் குறிகளையும், கூட்டல், பெருக் கணிதம் (Geometry) பயிலும்போது இயற்கணித கல் முதலிய பிணை களுக்கு (Operation) உரிய+,. முறைகளைக் கையாளுதல் பற்றி அறிகின்றோம். ரெனே எனும் குறிகளையும், ஓர் எண் மற்றொன்றுக்குச் சமா டேக்கார்ட் (Rene' Descartes) என்ற பிரெஞ்சுக் னம், குறைபட்டது என்றது போன்ற உறவுகளுக்குரிய கணித பௌதிக வல்லுநரால் முதன் முதல் கையாளப் = < எனும் குறிகளையும் பயன்படுத்தி, ஒரு சமன் பட்ட இம்முறையில் புள்ளிகளின் இடங்களைக் குறிக்க பாட்டையோ, சமனின்மையையோ சுருக்கமாக எழுதி, இரண்டு அல்லது மூன்று ஆயங்களிலிருந்து அவற்றின் அதனின்று வினாவிற் குறித்த (எழுத்தால் குறிக்கப் தொலைவை உபயோகிக்கவும், இதனால் தளத்திலும், பட்ட) எண்ணின் மதிப்பைக்காண உதவும் ஒரு கணி முப்பரிமாணப் பிரதேசத்திலும் பலவகைப்பட்ட நிய தத் துறை இயற்கணிதமாகும் என்று கண்டோம். இப் மப் பாதைகளையும், பரப்புக்களிலுள்ள புள்ளிகளையும் படி +, .<, = முதலிய பிணைகள், உறவுகள் இவற் அவற்றின் ஆயத்தொலைகளான x, y, அல்லது x, y, zறைப் பொறுத்து எண்களிடையே ஏற்படும் அமைப்பை எனும் எண்களிடையே உள்ள ஒரு சமன்பாட்டினால் முதலிற் பயில்வது போல், எண்கள் தாமின்றி மற்ற காணவும் வழி ஏற்படுகிறது. இம்முறையினால் இயற் அமிசங்களாலான கணங்களிடை (Sets) இத்தகைய கணிதத் தேற்றங்கள் வடிவ கணிதத்திற் பயன்படுவ பிணைகளும் உறவுகளும் சில ஆதாரத் தத்துவங்களுக் துடன், அதனின்று இயற்கணிதத்தில் பல்லுறுப்பி குட்பட்டு இருக்குமாயின், அவற்றைப்பற்றி எத் களின் (Polynomials) அமைப்பைப்பற்றி அறியப் தகைய தேற்றங்களை நிறுவலாம் என்று காண்பதே பல வழிகள் தென்படுகின் றன. தளத்திலோ, முப்பரி நவீன இயற்கணிதத்தின் நோக்கமாகும். இத்தகைய மாண, n பரிமாணப் பிரதேசத்திலோ ஆயங்களைப் அமைப்புக்களில் முக்கியமான சிலவற்றைப்பற்றிச் பலவிதமாக நிருமாணிக்க முடியும். இவ்வாறு ஆய சுருக்கமாக ஆராய்வோம். மாற்றத்தைப் பொறுத்து இல்லாத புள்ளிக் குழாங் 2. எண்வகைகளின் சில சிறப்பியல்புகள் : 1 என் களின் தன்மைகளே வடிவகணிதத்தில் கருதப்படும். பது தன, ரிண, முழு எண்களாலும் சுன்னத்தாலும் இத்தகைய ஆய மாற்றங்களைப் பற்றி அறிய இயற் ஆன எண் கணம் என்றும், கணிதத்தில் எண்சாரங்களைப் (Matrix) பற்றிக் கருதR என்பது தன, ரிண, பின்னங்களாலும் சுன்னத் வேண்டும். இதுவன்றி, ஆயமாற்றம் மட்டும் இன்றி தாலும் ஆன எண் கணம் என்றும், வேறு சில மாற்றங்களிலும் சிதைவுறாப் புள்ளிக்குமாங் C என்பது தன, ரிண, வாஸ்தவ எண்களாலும், சுன் களின் தன்மைகளைக் காணப்புகுவதால் பலவித வடிவ னத்தாலும் ஆன எண் கணம் என்றும், கணிதங்கள் ஏற்படுகின் றன. குலங்கள் (Group), என்பது கலப்பு எண்களாலான எண்கணம் என் களங்கள் (Field) எனப்படும் இயற்கணித அமைப் றும் கொள்வோம். ' இல் C உட்கணம் (Subset),
