________________
இயற் கணிதம் 20 இயற் கணிதம் ஆகும். | Cஇல் R உட்கணம், R இல் | உட்கணம் என்று நாம் படின் S ஆனது (=,+, . ) ஐப் பொறுத்த ஒரு பரி அறிவோம். வர்த்த ன வலயம் (Commutative Ring) எனப் '2. (அ) நான்குவித எண்க ணங்களிலும்=எனும் படும். a. b.=b. a என்ற 1-ல் உள்ள விதி a, b என்ற சமான உறவும், +, - என்று குறிக்கப்படும் கூட் ஒவ்வொரு ஈருறுப்புக்களுக்கும் உண்மையில்லாவிடி டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு ஈருறுப்பிணைகளும் கீழ்க் னும் களம். வலயம் என்ற பெயர்கள் ' பரிவர்த்த ன ' கண்ட விதிகளுக்குட்பட்டு நிறுவ முடியும். (கீழே எனும் அடைமொழியின் றிப் பொருந்தும். வலயம் a, b... முதலியன T, C, R, 1 ஆகிய நான்கில் ஏதா IV-ம் விதிக்குட்பட்டால் ஒற்றையுடைய வலயம் வது ஓர் எண்கணத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட ஏதாவது (Ring with unit) என்றும், V-ம் விதிக்குட்பட்டால் எண்களைக் குறிக்கும்). நியம வலயம் (Integrity Domain) என்றும் பெயர் l.a+b=b+a;(a+b)+c=a+[b+c); a • b= கொள்ளும். bra; (a - b) •c=a. (b . c); a (b+c)=a . b+a - c. பல தனிமங்களாலாய S எனும் கணத்தில் = எனும் II. a=a; a=b ஆயின் b=a; a=b உம் b=c உறவும், + எனும் ஓர் ஈருறுப்பிணையும் 1, 1| எனும் விதி உம் ஆயின் a=c | களில் இவ்விரு குறிகளைக் குறித்த சமன்பாடுகளுக்குட் a=b ஆயின் a+c=bTc; a . c=b.c பட்டுக் கொடுக்கப்படின் S ஐ {=, +ஐப் பொறுத்து) ஒரு ' பரிவர்த்த ன குலம் (Commutatiye Group) III. சுன்னம் (இதற்குக் குறி ) என்ற ஓர் எண் என்போம். இவ்விதிகளுள் a+b=b+a என்பது உண்டு, மேலும் a+o=a: a இன் எந்த மதிப்பிற்கும் தரப்படாவிடின் ' பரிவர்த்த ன ' என்ற அடை பொருந்தும். a எனும் எந்த எண்ணிற்கும் (-a) மொழியை விடுத்துக் ' குலம்' என்போம். குலம் ஒன் என்று ஓர் எதிர் எண் a+(-a)=0 எனும் சமன் றில் a எனும் தனிமத்திற்கு எதிர்த் தனிமம் -a ஒன்றே பாட்டிற்குட்பட்டு இருக்கிறது. உண்டு ; -a இன் எதிர் 3 ஆகும். களத்தில் a இன் IV. ஒன்று (குறி 1) ஓர் எண். a - 1=a என்ற மாற்று a 1 ஒன்றுதான் உண்டு; a " இன் மாற்று a சமன்பாடு a இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் பொருந்தும், ஆகும் ; இவற்றை எளிதில் நிரூபித்தல் கூடும், V, a + b=0 என்பது உண்மையாயின் a=0 அல் களம் ஒன்றில் < எனும் ஓர் உறவு 111-ம் விதிக்கும் லது b=0 என்பது உண்மை . உட்பட்டிருந்தால் அதனைக் 'கிரமக் களம்' (Ordered 2 . (ஆ) | எனும் முழு எண்களாலான எண்கணத் field) என்றும், VIII-ம் விதியும் உண்மையாயின், தைத் தவிர்த்த ( ,CR) எனும் எண்கணங்களிடைக் ' ஆர்க்கிமீடிய கிரமக் களம்' என்றும் கூறுவோம். கீழ்க்கண்ட விதியும் உண்மையெனக் காணலாம். மேலே கூறிய எண்வகைகளாலான உதாரணங்களைத் VI. 3 என்பது சுன்னமில்லாத ஓர் எண் ஆயின் தவிர வேறு சிலவற்றையும் அடுத்துவரும் அங்கங்களில் a . a1=1 என்ற சமன்பாட்டிற்குட்பட்ட & 1 எனும் காண்போம். இனி இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட ஓர் மாற்று எண்ணும் இருக்கிறது. அமைப்புக்களின் சிறப்பியல்புகள் சிலவற்றைத் தனித் 2. (இ) C எனும் கலப்பெண்களின் கணம் தனி? ஆராய்வோம். தவிர்த்து, மற்ற மூன்று எண் கணங்களிலும் a 4. கலக்கின் இயல்: c. 4. குலத்தின் இயல்பு: S எனும் கணம் (=', +) எனும் உறவு (a ஆனது -ஐ விடக் குறைந்த எண் என்பனவற்றைப் பொறுத்துக் குலம் ஆவது போல் என்று பொருள்பட) உள்ளது. இவ்வுறவைப் (=, . ) என்று வேறு குறியால் குறிக்கப்பட்ட பொறுத்து இம் மூன்று எண்கணங்களில் கழக்கண்ட ஈருறுப்பிணையைப் பொருத்தும் குலமாக இருக்கலாம். விதிகளைக் காணலாம். அவ்வாறாயின் () எனும் தனிமத்திற்குப் பதில் 1 VII. a<b, b<c என்பவை உண்மையாயின் என்ற தனிமத்தையும் -a எனும் தனிமத்திற் a<c என்பது உண்மை . a, b எந்த இரு எண்க குப் பதில் a 1 என்ற தனிமத்தையும் குறித்தல் மரபு. ளாயினும் a>b. a=b. b>a ஆகிய மூன்று உறவு உதாரணமாக ஒரு களத்தில் சுன்னத்தைத் தவிர்த்த களில் ஒன்றே ஒன்று மாத்திரம் உண்மையாகும். தனிமங்கள் =, . ஐப் பொறுத்த ஒரு குலம் ஆகும். + VIII, a b (+0) எந்த இரு எண்களாயினும் என்பது குலத்தின் பிணையைக் குறிக்குமாயின் அக்குலம் a<Nb என்ற உறவிற்குட்பட்ட N எனும் ஒரு முழு பரிவர்த்தன குலம் என்றே கொள்வது வழக்கம். எண் இருக்கிறது. குலத்திலுள்ள தனிமங்களின் எண்ணிக்கை அபர இப்படி, நால்வகை எண்கணங்களில் +. . , =, K எண்ணாக (Finite number) இருந்தால் அக்குலத்தை எனும் பிணைகள், உறவுகள் பொருத்த விசேடங்களை அபர குலம் என்றும், தனிமங்களின் எண்ணிக்கையைக் வழிகாட்டியாகக் கொண்டு சில அமைப்புக்களை நிறுவி, குலத்தின் நிரை (Order) என்றும் கூறுவோம். தனி அவற்றின் தனி இயல்புகளைப் பற்றிக் கீழே காண் மங்கள் அபர எண்ணிக்கையுடையன அல்லவாயின் போம். குலத்தைப் பரநிரைக் குலம் எனலாம். 3. குலம், வலயம், நியம வலயம், களம் இவற்றை அபர குலத்தின் குலப்பிணையை . என்று கொண் வரையறுத்தல் : பல தனிமங்களால் ஆகிய S டால் அக்குலத்தின் கட்டமைப்பைத் தனிமங்களின் எனும் ஒரு கணத்தில் = எனும் ஓர் ஈருறுப்பு உற பெருக்கல் வாய்பாட்டை எழுதி நிலைநிறுத்தலாம். வும், +, . என்று இரு ஈருறுப்புப் பிணை களும் உதாரணமாக 1, a, b, c என்று நான்கு தனிமங்களா மேலே 2ஆம் அங்கத்தில் குறிப்பிட்ட 1 முதல் VI NT லான ஒரு குலம் அடுத்த பக்கத்திலுள்ள பெருக்கல் வரையிலுள்ள விதிகளில் ‘ எண்' என்னும் பதத்திற்கு வாய்பாட்டுடன் இருக்கிறது. ' S இன் தனிமம்' என்று எழுத வரும் விதிகளுக்குட் அடுத்த பக்கத்தில் உள்ள வாய்பாட்டில் இடப் பட்டு இருக்குமாயின், இக்கணம் (=, +, , ) ஐப் பக்கத்தில் 3 எனும் தனிமம் உள்ள வரியிலும் மேல் பொறுத்து ஒரு ' பரிவர்த்த ன களம்' (Commuta- வரியில் b எனும் தனிமம் உள்ள பத்தியிலும் காணப் tive Field) எனப்படும். 1 முதல் 11 வரையுள்ள படும் தனிமம் (அதாவது c) a . b க்குச் சமமாகும். இப் விதிகள் மாத்திரம் (மேலே சொன்னபடி ' எண்' என் படியே மற்ற ஈருருக்களின் பெருக்கல் தொகையைக் பதைத் ' தனிமம்' என்று மாற்றிய பிறகு) கொடுக்கப் காணலாம்.
