________________
இயற் கணிதம் 21 இயற் கணிதம் 1, 2.......n என்று குறிக்கப்பட்ட n இடங்களும், 5. சமநிதானம், சம்வேசனம், உட்குலம், பகு 1, 2......n என்று குறிக்கப்பட்ட n பொருள்களும் குலம் : G, G' எனும் இரு குலங்களிடை Gஇன் கொடுத்து இப்பொருள்களை ஒவ்வொன்றை ஒவ்வொரு தனிமம் a ஒவ்வொன்றிற்கும் பிம்பமாக a' எனும் G' இடத்தில் பொருத்த வைப்பதென்றால் இது 6 !==6. 5. இன் தனிமம் ஒன்றை நிருணயிக்கும் G-ஐ G' இடம் 4. 3. 2. 1 விதங்களில் முடியும் என்று நாம் அறீ பொருத்தும் முறை f ஒன்றைக் கரு.துவோம். f. (a+b)= வோம். இப்படிப் f (a) , f (b) எனும் விதி a, b என்ற Gஇன் தனிமங் பொருத்தும் ஒவ்வொரு கள் யாவைக்கும் உண்மையாயின் f ஆனது G-ஐ G' 1 a b c வகையையம் கீழ்க் இடம் பொருத்தும் ஒரு குல சம்வேசனம் (Homomor கண்ட முறையில் குறிக் phism) எனப்படும். மேலும் G'இன் ஒவ்வொரு தனிம 1 1 a b c கலாம்: மும் G இன் ஒரே ஒரு தனிமத்தின் (fசார்ந்த) பிம்பமாக a | a 1 c b (I 2..........n ) இருக்குமாயின் f ஒரு குல சமநிதானம் (Isomor' Im1 m2....... phism) எனப்படும், அப்படி இருந்தால் a' எனும் பிம் b> b c 1 a| பத்தை a எனும் Gஇலுள்ள அதன் மூலத் தனிமத் என்ற குறியில் m]....... c c b a 1 m. என்ப ன 1, 2...... திற் பொருத்தும் f1 எனும் பொருத்தல் முறையும், G'-ஐ G இல் பொருத்தும் சம் வேசனம் ஆகும். f என் ....n எனும் எண்க ளா பது G-ஐ G' இலும் g என்பது G'-ஐ G' இலும் லான கணத்தை ஏதா பொருத்தும் சம் வேசனங்கள் அல்லது சமநிதானங்கள் வது ஒரு முறையில் வரிசைப்படுத்த உண்டாவது. ஆயின் gf எனும் பொருத்தல் முறை (g f (a)=g இக்குறி 1 எனும் இடத்தில் m. எனும் எண்ணுள்ள [f (a)] என்று கொள்வது மரபு) G-ஐ G" இல் பொருளும், 2 எனும் இடத்தில் m2 எனும் எண் பொருத்தும் சம்வேசனம் (சமநிதானம்) என்பது தெரி ணுள்ள பொருளும், மற்ற எண்களும் இப்படியே முறை கிறது. யாகப் பொருத்தப்படும் வகையைக் குறிக்கின்றது. குலத்தின் அமைப்பைப் பொறுத்தவரை G, G' இப்படிப் பொருத்தும் வகை ஒவ்வொன்றையும் ஒரு எனும் சமநிதானக் குலங்கள் சற்றும் வேறுபாடு தனிமமாகக் கொண்டு, இத்தனிமங்களாலாய கணத் இல்லாததால் இத்தகைய குலங்களை வெவ்வேறு தில் ஓர் ஈருறுப்பிணையை நிறுவீச் சமத்துவத்தையும் குலங்கள் என்று கருதவும் வேண்டுவதில்லை. ஒன்றி வரையறுத்து ஓர் அபர குலத்தை நிறுவலாம். னின்.று மற்றது தனிமங்களின் குறிகளை அல்லது ன (1 2......n S,T என்ப (1 2......n பெயர்களை மாற்றின தால் வந்தது என்று கொள்ளலாம். Is s..... sa). It.........tn) மேலே சொன்ன உதாரணத்தில் G எனும் குலமும், எனும் பொருத்தல் வகைகளைக் குறிக்கட்டும். Gஇன் தனிமங்களினாலான கணத்தின் 1 - 1 அகப் S=T என்ப தற்கு S1 =t], s2=t2........ Sn=ta பொருத்தங்களில் சிலவற்றால் ஆன குலம் G'உம் என்று பொருள் கொள்ள வேண்டும். S. T=V= சமநிதானமுடையன ஆகையால், எக்குலத்தையும் ஒரு 1 2..........n கணத்தின் அகப்பொருத்தங்களாலான குலமாகக் (கட் என்பதை வரையறுக்க டமைப்புப் பொறுத்தவரையில்) கருதலாம் என்று (vi Vg......Vn '1............n தெரிகிறது. | எனும் எண் சாரத்தில் (Matrix) G எனும் கணம் (=, . ) என்பன பொறுத்து ஒரு ($1............Sa / குலம் ஆயின், G இன் உட்கணமான g என்பதின் தனி ty, t?.........t.. எனும் எண்களை மேல் வரியிற் மங்களிடை=, , என்பன நிறுவப்படும். a, b என்பன கண்டு, அவற்றின் கீழே உள்ள எண்களை முறையே இன் தனிமங்களாயின் a . b என்பதும், 1 எனும் V> V2............V. எனக் கொள்ள வேண்டும். தனிமமும், 1' எனும் தனிமமும் இலேயே இருக்கு இப்படி =, . இவற்றைக் கொண்டால் பொருத்தல் மாயின் gஉம் (=, . ) என்பனவற்றைப் பொறுத்து வகைகளாலான கணம் ஒரு குலம் ஆகும். இக் ஒரு குலமாகும். இத்தகைய உட்கணத்தாலான குலத்தை (1, 2......n) எனும் குறிகளாலான அபர குலத்தை G இன் உட்குலம் என்போம். கணத்தின் 1- 1 அகப்பொருத்தங்களாலானது (1 -1 8. h என்பன Gஇன் உட்கணங்களாயின் g . h என் Correspondences) என்று கருதலாம். S. T இத் பது இனின்று ஏதாவது தனிமம் aஐயும் இலிருந்து தகைய பொருத்தங்களாயின், S. T என்பது Tஇன் ஏதாவது தனிமம் bஐயும் பெருக்க வரும் (a - b) பிறகு S செயற்பட்டால் உண்டாகும் அகப்பொருத் போன்ற தனிமங்களாலான Gஇன் உட்கணத்தைக் தம் என்று பொருள் கொள்ளலாம். n என்பது குறிக்கும். g1 என்பது இலுள்ள தனிமம் (a) ஒவ் இரண்டைவிட அதிகமாயின் இத்தகைய குலம் பரி வொன்றிற்கும் இணையாக உள்ள ( a 1) எனும் தனிமங் வர்த்த ன குலமாக இராது. களினாலான G இன் உட்கணமாகும். இம்முறையில் g பொதுவாக அபர அல்லது பர கணத்தின் 1 - 1 எனும் உட்கணம் Gஇன் உட்குலமாயிருத்தற்கு அவ அகப்பொருத்தங்களை இதே முறையில் ஒரு குலம் சியமும், போதுமானதும் ஆன விதி : g.g உம் ; என்று கருதல் இயலும். இதற்கு மறு தலையாக * உம் இன் உட்க ணங்கள் [gr g<g; g <g G எனும் ஒரு குலத்தை Gஇன் தனிமங்களாலான என்று குறிக்கலாம்; AKB என்பது A என்ற கணம் கணத்தின் அகப்பொருத்தங்கள் சிலவற்றாலான குலத் B என்ற கணத்தின் உட்கணம் என்பதைக் குறிக்கும்). துடன் சம நிதானமுடைய குலம் என்று காண்பது என்பது Gஇன் உட்கணமாயின், g ra= (x - ai எளிது. {G இல் உள்ள 2 எனும் உறுப்பிற்குப் பதில் NE) என்ற கணத்தை இன் (a இனால் நிறுவிய) Gஇன் உறுப்பு x-ஐ ax இல் பொருத்தும் அகப் ' வலப்புற உபகணம்' என்று சொல்வோம். g ஆனது பொருத்தமாக கருதினால் இத்தகைய 1 - 1 பொருத் Gன் உட்குலம் ஆயின் இன் இத்தகைய வலப்புற தம் (One-one correspondence) G-ஐ Gஇன் உபகணங்கள் (g . a), (asG). G எனும் கணத்தை அகப்பொருத்தங்கள் சிலவற்றலான குலத்திற்குச் ஒன்றுக்கொன்று பொதுத் தனிமங்கள் இல்லாத சில சமநிதானமாக்கும். உட்கணங்களாகப் பகுக்கின் றன. (a, b என்பவை
