________________
இயற் கணிதம் 22 இயற் கணிதம் Gஇன் தனிமங்களாயின் g - a=g - b அல்லது g - a, னில் ஒவ்வொரு g-க்கும் சமநிதானமாக ஒரு நேர்மை g-b இவற்றிடை பொதுத் தனிமங்களே கிடையாது உட்குலமிருக்கும். குலங்களின் அமைப்பை ஆராய் என்று காண, C எனும் தனிமம் . . . இலிருத்தற்குப் வதில் இவ்வகையாகச் சிறப்பான சில குலங்களைக் போதுமானதும், அவசியமானதும் ஆன காரணம் கொண்டு அவற்றின் சேர்க்கையால் வரும் குலம் c. alag" என்பதாகும் என்று நிரூபித்தல் போதும்). Plga ) அல்லது அச்சேர் க்கையின் உட்குலம் இவற் இப்பாகங்களாலான கணத்தை (G :g)r என்று குறிப் றுடன் சமநிதானமாக எக்குலங்களைக் காட்டலாம் போம்.[a.g] என்பன G இனைப் பகுக்கும் இடப்புற என்பது ஒரு முக்கிய பாகமாகும். சிறப்பான குலங் உபகணங்களைத் தருகின்றன. இப்பாகங்களாலான களில் அபர கணமொன் றின் அகப்பொருத்தங்களா கணத்தை (G: g) | எனக் குறிப்போம். g எனும் உட் லான குலமும், கீழே சொல்லப்படும் சதிசிப் பிரதேசத் குலத்தைப் பொறுத்து Gஇன் ஒவ்வொரு தனிமம் a-க் தன் {Vector Space) வரி அகப்பொருத்தங்களா கும் g . a=a . g எனும் விதி உண்மையாயின் g-ஐ ஒரு லான (Linear endomorphism) குலங்களும் முக்கிய ' நேர்மை உட்குலம்' (Normal sub-group) என் மானவை போம். அப்படி g இருப்பின் (G: g) என்பதும், 7. களமும் வலயமும் : R என்ப து (2,+, . ) (G : g) என்பதும் Gஇன் ஒரே பகுத்தலினால் வரும் ஐப் பொறுத்து ஒரு வலயம் அல்லது களம் ஆனால் உட்கணங்களாலான கணக்குழாம் (Family of Sets) அதன் உட்குலமான S என்பது ஓர் உள்வலயமாயிருக்க அகம் : மேலும் அதனை G: s என்று குறிக்க இக் S+SCS, -SCS. S. SCS என்ற விதிகளும், S ஓர் ஆகும். மேலும் அதனை கணத்தை ஒரு குலமாகக் கருத முடிகிறது. = என் உட்களமாயிருக்க, இம்மூன்றைத் தவிர (S-(o))-1 பதை G : gஇன் தனிமங்களான G இன் உட்கணங்க CS என்ற விதியும், அவசியமும் போதுமானதும் ளிடையே உள்ள சமத்துவமாகவும், gra, g - b எனும் ஆகும். S என்பது R எனும் களம் ஒன்றின் உள்வலய G : gஇன் இரு தனிமங்களுக்கு (g . a). (g - b) என் மாயின்S ஆனது நியம வலயமாகும். R பரிவர்த்த ன கள பது 2 - (a + b) என்றும் கொண்டால் G: g ஒரு மாயன் S உம் பாவாததன வலயமே. இதற்குப் பிரதி குலம் ஆகிறது. இதனை G-ஐ இனால் ' பகு குலம்' யாக ஒன்றுடைய பரிவர்த்த ன நியம வலயம் R ஒன்று (Quotient group) என்றழைப்போம். f என்பது கொடுக்கப்பட்டால், முழு எண்களிலிருந்து பின்னங் G-ஐ G'இன் மேல் பொருத்தும் சம்வேசனம் ஆயின், கள நிறுவுவது போல R இன் தனிமங்களின் இரட்டை f(a)=0 எனும் விதிக்குட்பட்ட Gஇன் தனிமங்கள் களிடை (=, +, - ) என்பனவற்றைச் சரிவர நிரு Gஇல் ஒரு நேர்மை உட்குலம் g ஆகும். {G : g) உம் மாணித்து, இவ்விரட்டைகளினாலாய கணம், S க்குச் சம G' உம் சமநிதானமாகும். நிதானமான வலயத்தை உள்வலயமாகக் கொண்ட G -ஆனது n தனிமங்களுடைய (அபர) குலமும், ஒரு களமாகச் செய்யலாம். இக்களம் R இன் பின்னங் g ஆனது m தனிமங்களுடைய உட்குலமும் ஆயின், களாலானது என்போம். ஆதலால் சமநிதானம் (ga) எனும் உபகணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் m தனி பொறுத்தவரை ஒன்றுடைய பரிவர்த்தன நியம வலயங் மங்களிருக்குமாகையால் (G:gar.லுள்ள (உபகணங்க களைக் களங்களின் உள் வலயங்களாகவே கருதலாம். ளாலான) தனிமங்களின் எண் ( ஆனால் n=mr என் களத்தின் முக்கியத்துவம் யாதெனில் R, C, T முகிறது. ஆகையால் உட்குலம் - இன் நிரையானது எனும் எண் களங்களுக்குரிய பல தேற்றங்கள் சம் Gஇன் நிரையை வகுக்கும் எண்ணாகும். Gஇல் வர்த்தன களங்களுக்கும் நிரூபிக்க முடிகின் றன. உதா a எனும் ஒரு தனிமத்தின் தனி மடக்கங்கள் ar, ரணமாகச் சமன்பாடுகளின் தீர்வை ஆராயப் புகுந்தால் a' = 1, a n=(a 1). இவற்றினாலான உட்கணம் F எனும் ஒரு கணத்தின் (a...........aa) எனும் தனி Gஇல் ஓர் உட்குலம் என்று தெரிகிறது. இவ்வட் மங்களைக் குணகங்களாகக் கொண்ட 2. xa+...+ குலம் a இனால் விவரிக்கப்பட்டது எனலாம். இவ்வுட் an=0 எனும் சமன்பாட்டில் X எந்தெந்த F இன் குலத்தின் நிரையை a இன் நிரை என்றும் சொல்வ தனிமமாயிருந்தால் இச்சமன்பாடு உண்மையாயிருக் துண்டு. ஆதலால் ஒவ்வொரு தனிமத்தின் நிரையும் கும் என்று ஆராயலாம். இத்தகைய ஆராய்ச்சியில் Gஇன் நிரையை வகுக்கும் எண்ணாகும் (G அபரகுல ஆழ்ந்த கருத்துக்கள் விவா ஆழ்ந்த கருத்துக்களை விவரித்தவர் கால்வா ' மாயின்). (Galois) என்ற பிரெஞ்சுக் கணித அறிஞர். (சமன் 6. குலங்களின் அமைப்பை ஆராய்தல் : gir g: பாடுகளின் தா பாடுகளின் தீர்வைப்பற்றிச் சமன்பாடுகள் என்ற என்பன [(=, ') என்ற சமத்துவம், குலப்பிணை கட்டுரை பார்க்க). பொறுத்த] குலங்களாயின் (ay az) என்று g1 இலிருந்து 8. வலய சம்வேசனம் சமநிதானம், சீர்கணம் ஒரு தனிமம் a 1 உம், 8.இலிருந்து ஒரு தனிமம் 3. உம் குலங்களிடைச் சொன்னதுபோல R. R1 எனும் வல கொண்ட இரட்டைகளினாலான கணம் (s,xg..) யங்களில் R-ஐ R1 இல் பொருத்தும் f எனும் ஒரு எனப்படும். இக்கணத்தில் (ay az.) = (bi, b.) பொருத்தல் முறை கொடுக்கப்ப பொருத்தல் முறை கொடுக்கப்பட்டு, மேலும் f (a+b என்பதற்கு as=ag, b,=b, என்று பொருள் =f (a)+f (b), f (a. b)=f (a). f (b) எனும் விதி கொடுத்தும், (ai az). (bu ba) என்ற பிணையின் கள் R இன் தனிமங்கள் a, b எவற்றிற்கும் உண்மை பயனை (al - az bi . b,) என்றும் கொண்டால் யாயின், f-ஐ ஒரு (வலய) சம்வேசனம் என்போம். 81Xg, என்பது ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தில் f ஆனது R-ஐ R' இன்மேல் பொருத்தும் ஒன்றொன்று [ {al 12) ] என்ற இரட்டைகளாலான கணம் g'111, பொருத்தல் முறையாகவும், f. f' ஆகிய இரண்டும் என்பது g இன் ஒற்றைத் தனிமம்) 81Xg, இல் ஒரு (வலய) சம்வேசனங்களுமாயின் f ஒரு (வலய) சம நிதானம் எனலாம். R எனும் வலயத்தின் உட்கண நேர்மை உட்குலம். இது 1 உடன் சமநிதானமானது மான S ஆனது (=, C, - ஐப் பொருத்து) R.இன் (a1 4+ (ay, 1,) என்ற ஒன்றொன்று பொருத்தம் உட்குலமாக இருப்பதுடன் S. a CS என்பது Rஇ gr-க்கும் g'-க்கும் இடையில் ஒரு சமநிதானம் ஆகும். லுள்ள தனிமம் a ஒவ்வொன் றிற்கும் உண்மை ஆயின், (g|xga)/g's, விற்கு g, சமநிதானம் என்று காண S-ஐ Rஇன் ' வலப்புறச் சீர்கணம்' என்றும், [a. s] லாம். இதேபோல் (g.) என்று பல குலங்களைச் போன்ற கணங்களை S.இன் இடப்புறத் துணைக் கணங் சேர்த்து P(ga) என்றொரு குலத்தை நிறுவலாம்; இத களென்றும் கூறுவோம். முன்போல R இல் nதனிமங்
