________________
இயற் கணிதம் 23 இயற் கணிதம் களும் Sஇல் n தனிமங்களும், (a S) போன்ற துணைக் சதிசிப் பிரதேசமாகும். இயற்கணித வகையில் வடிவ கணங்களுள் ஒன்றினோடொன்று தனிமங்கள் பொது கணிதத்தை ஆராயும்போது இத்தகைய n பரிமாண வாக இல்லாது 1 துணைக் கணங்கள் இருந்தால் n= சதிசிப் பிரதேசத்திலேயே விசேட உட்கணங்களைக் m r என்று காணலாம். இடப்புறச் சீர்கணம் a. SCS கருது தல் வழக்கமாகும். வடிவக் கணிதத்தின் கீழுள்ள எனும் விதியாலும், இருபுறச் சீர்கணம் a. SCS, கட்டுரைகளில் இதன் விவரங்களைக் காணலாம். S. a CS என்ற விதிகளாலும் நிருணயித்து, S ஓர் இருR எனும் களத்தின் மேல் G என்பது சதிசிப் பிர புறச் சீர்கணமாயின் (RS) என்ற S இன் இட (வல) தேசமா யிருத்தலுடன் G இன் தனிமங்கள் a, b என்ற புறத் துணைக்கணங்களில் வெவ்வேறானவற்றலான எவ்விரண்டிற்கும் a - b என்றொரு மூன்றாவது தனி கணத்தில் (=, +, - ) என்பவற்றை நிறுவி (RS)-ஐ மம் கொடுக்கப்பட்டு G ஆனது (=, +, - ) ஐப் ஒரு (பகு) வலயமாக்கலாம். குலத்தினைப் போல் f பொருத்து ஒரு வலயமாகவும் (a - a=a . d எனும் என்பது R-ஐ R'இன் மேல் பொருத்தும் சம் வசன விதி Rஇலிருந்து ( உம், G யிலிருந்து a உம் எதுவா மாயின் f (x)=0 எனும் விதியால் நிருணயமாகும் யினும் உண்மையாகவும் இருந்தால், G என்பது R இன் தனிமங்களா (x) லான N எனும் கணம் R இன்மேல் ஓர் ' அல்ஜேப்ரா' எனப்படும். • அல் R இல் ஓர் இருபுறச் சீர்கணம் என்றும் (RN) உம் ஜேப்ரா'க்களின் அமைப்பை விவரித்தல் இயற்கணி R' உம் சமநிதான வலயங்கள் என்றும் காட்டலாம். தத்தின் ஒரு முக்கிய பாகமாகும். இவற்றினைப் பற் R எனும் ஒற்றையுடைய வலயத்தில் a எனும் ஒரு றிக்கூற இக்கட்டுரையில் முடியாது. தனிமத்தினின்று [b ac] [b, c R இன் தனிமங்கள், 10. தனிம தாரணி, சீர்கணக் காரணி : தன, என்பது போன்ற தனிமங்களின் கூட்டுத் தொகைகளா ரிண எண்களும், சுன்னமும் சேர்ந்த 1 எனும் வலயத் லான ஓர் இருபுறச் சீர் கணம் நிறுவலாம். இதனை a தின் எந்த (சுன்னம் தவிர்த்த) எண்ணையும் பகாக் யினால் நிறுவிய ' பிரதானச் சீர்கணம்' என்போம். காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக எழுதலாம். 9. பல்லுறுப்பி வலயங்கள், சதிசிப் பிரதேசங்கள், (உ-ம். 35=5X7; - 24=(-1) 2X2X2X3). இம் அல்ஜேப்ராக்கள் : R என்பது ஒற்றையுடைய சம்வர்த் முறையை வேறெந்த வலயங்களில் கையாளலாம் தன வலயம், அல்லது களம் ஆயின் x எனும் ஒரு என்று ஆராய்தல் இயற்கணிதத்தின் ஒரு பாகமாகும். குறிக்கும் அதன் பெருக்கங்களான x 2, x' ஆனவற்ஒ ற்றையுடைய சம்வர்த்தன நியம வலயம் R ஒன்றில் றிற்கும் R இலிருந்து தனிமங்களைக் குணகங்களாய் உப a எனும் (0 தவிர்த்த) தனிமம் a=b = c என்று எழு யோகித்து f(x)=a. 'xn'.....+an என்பதுபோல் பல் தப்படுமாயின் b. ( என்பவை a இன் காரணிகள் எனப் லுறுப்பிகளை தனிமங்களாகக் கொண்ட R[x ஐ மற் படும். ba, c'a என்ற குறிகளால் இதனைச் சுருக்க றொரு வலயமாகக் கொள்ளலாம். [a.ra.xx°=1 மாகக் காட்டலாம். a b, b a இரண்டும் உண்மை என்று கொண்டு, இப் பல்லுறுப்பிகளிடை கூட்டலும் யாயின், a; b என்பன துணைத் தனிமங்கள் எனப் பெருக்கலும் நாம் சாதாரணமாக R-ஐ நிஜ எண்களா படும். 1இன் துணைத் தனிமங்களை ஒற்றைத் தனிமங் லான களமாயின் எப்படி திருணயிக்கிறோமோ அவ் கள் என்போம் [R, C என்ற எண் களங்களில் +1, வாறே இங்கும் வரையறுக்கலாம்). இத்தகைய பல் -1 என்பனவும் - எனும் களத்தில் -1, -1, +i, ஒறுப்பிவலயம் R[x], முன் கொடுத்த R எனும் வல -1 என்பனவும் ஒற்றைகள் என்று காணலாம்). a, b யத்தை உள் வலயமாக வுடையது. R என்பது நியம துணைத் தனிமங்களாயின் a=b.u. u ஓர் ஒற்றை வலயமாயின் R[x] உம் நியமவலயமாகும். அப்பொழுது என்று எளிதிற் காணலாம். இப்படி எத் தனிமத்தை R[x]இன் பின்னங்களாலாய களத்தை R(x) என்று யும் ஒற்றையைத் துணைத் தனிமத்துடன் பெருக்கி குறித்து, இதனை Rஇலிருந்து குணகங்களுடைய X இன் வந்ததாகக் காணலம். இதனால் ஒற்றைகளையும் பின்னச் சார்பலன் களாலான களம் என்பது உண்டு. துணைத் தனிமங்களையும் a இன் அற்ப காரணிகள் X| x......... என்று பல குறிகளை ஒன்றன்பின் ஒன் (Trivial factors) எனலாம். a எனும் தனிமத்திற்கு முகச் சேர்த்துப் பல குறிப் பல் உறுப்பிகளாலும் அற்பக் காரணிகள் தவிர வேறு காரணிகளில்லாவிடில் (Polynominals in several indeterminates) a-ஐ ஒரு ' பகாத் தனிமம்' என்போம். 1 எனும் நியம வலயங்கள் நிறுவலாம் (R[x1......, x.) என்பது வலயத்தில் பகாத் தனிமங்கள் பகா எண்களே ஆகும், R [x1......xn1] உடன் x. ஐச் சேர்த்த லால் வரு எவ்வித வலயங்களில் பகாத் தனிம காரணிகளின் வது என்று கொள்கிறோம்). பெருக்குத் தொகையாக எத்தனிமத்தையும் காண G எனும் சம்வர்த்தன குலம் ஒன்றில் + என்பது லாம் என்பதைச் சற்று ஆராய்வோம், குலப்பிணை என்றும், R எனும் ஒற்றையுடைய சம்வர்த் 1 எனும் எண் களத்தில் ஒவ்வொரு எண் aக்கும் (a) தன வலயம், அல்லது களம் ஒன்றிலிருந்து எடுத்த ஒவ் என்னும் (as-aஇல் தன எண்ணின்) மதிப்பை : (a) வொரு தனிமம் aஉம் Gஇன் தனிமம் X இலிருந்து என்று சொன்னால் (1) g (a . b) > g (a) (b சுன்ன ax எனும் மற்றொரு தனிமத்தை நிருமாணிக்கிறது மில்லாவிட்டால்) ; மேலும் (3) a, b எனும் இன் என்றும், மேலும் a (x+y)=dx+dy, எண்கள் கொடுத்து a 0 என்றும் இருந்தால் கீழ்க் (aB]x=a(Bx), (a+B}x=dx+Bx என்னும் விதி கண்ட விதிக்குட்பட்ட g, 1 எனும் 1இன் எண்களைக் கள் உண்மை என்றும் கொண்டால் G ஆனது R இன் கண்டுபிடிக்கலாம் : b=qa+r, r=0 அல்லது மேல் ஒரு சதிசிப் பிரதேசம் என்போம். Gஇன் a g (r)<g (a). இதேபோல் ஒரு களம் Kயிலிருந்து எனும் ஒவ்வொரு தனிமமும் 1,......., C. எனும் n குணகங்களுள்ள பல்லுறுப்பிகளாலான K [x] என்ற தனிமங்களின் சார்பாக a=dici+...+anch' வலயத்தில் f {x)=aoxr +......an என்ற தனி என்று ஒரேயொரு விதத்தில் கொடுக்கப்படுமாயின் மத்தில் an 0 ஆனால் g ( f(x)]=n என்று கொண் c1...cn என்பன G-ஐ விவரிக்கும் தனிமங்கள் என் டால், இந்த து என்ற தன முழு எண்களின் மேல் றும் G ஆனது R இன்மேல் n பரிமாண சதிசிப் பிர K [x]ஐ பொருத்தும் வகையும் மேலே சொன்ன (1), தேசம் என்றும் சொல்வது மரபு. நாம் சாதாரண (2) எனும் விதிகளுக்குட்பட்டது என்று தெரிகிறது. மாக வடிவ கணிதத்திற் காணும் முப்பரிமாணப் பிர இத்தகைய தன முழு எண்மதிப்புடைய சார்பலன் (8 தேசம் R எனும் நிச எண்களத்தின்மேல் முப்பரிமாண என்பது) 'ஒற்றை'உடைய நியம சம்வர்த்தன வலயத்து
