________________
இயற் கணிதம் 24 இயற் கணிதம் இருக்குமாயின் அதனை ஒரு ' யூக்ளிடிய வலயம்' என் யாயின் ஒவ்வொரு சீர்கணமும் பகாச் சீர்கண காரணி றழைப்போம். யூக்ளிடிய வலயங்களில் ஒவ்வொரு களின் (A) பெருக்குத் தொகையாகும். (சீர்கணம் A (சுன்னந் தவிர்த்த) தனிமத்தையும் பகாக் காரணி யிற்கு A, R-ஐத் தவிர வேறு காரணிகளில்லாதாயின் களின் பெருக்குத் தொகையாக ஒரே ஒரு விதத்தில் அது பகாச் சீர்கணமெனப்படும்), பகாக் காரணிகளைப் எழுதலாம். பிராகிருத காரணிகள் என்று நிரூபிக்கலாம். [g யூக்ளிடிய வலயங்களில் எல்லாச் சீர்கணங்களும் ஆனது R இல் பிராகிருதச் சீர்கணம் என்பதும் ' R/ பிரதானச் சீர்கணங்களே. சீர்கணங்கள் A, B என் இல் an = 0 ஆனால் a=0 என்பது ஒவ்வொரு தனிமம் பனவற்றில் A<B என்ற உறவை B ஆனது A இன் a க்கும் உண்மை ' என்பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள் ; சீர்கணக் காரணி என்று குறிப்பிட்டால்[a], [b] என்ற 'R/q ஒரு களம் ' என்பதும், 'R இல் 9 ஆனது மூலச் பிரதானச் சீர்கணங்கள் பொறுத்தவரை b ஆனது சீர்கணம்' என்பதும் சமநிலை). இத்தகைய பிராகிரு a இன் (தனிமக்) காரணி என்றதும் [b] ஆனது [a] தச் சீர்கணங்களுக்குத் துணையான மூலச் சீர்கணங் இன் சீர்கணக் காரணி என்றதும் சமநிலைத் தேற்றங் களுண்டு. இவற்றின் தன்மையைப் பல்லுறுப்பி வல கள் ஆகும், யூக்ளிடிய வலயத்தில் a, b என்று தனி யங்களில் ஆராய்வதால் சதிசிப் பிரதேசங்களிலுள்ள மங்களிருந்தால் (2) இல் கொடுத்த விதியை உபயோ வளைவுகள், பிராந்தியங்கள், இவற்றின் தன்மையையும் கித்து a, b-க்கு உத்தமப் பொதுக் காரணி (உ. பொ. இயற்கணித முறையில் விவரிக்க வழி ஏற்படுகிறது. கா.) ஆன h எனும் ஒரு தனிமத்தைக் கண்டு கொள்ள 11. கிரமமுடைக்குலம், களம் முதலியன : அண் லாம்; h'a, hib என்பதுடன், r/arb உண்மையா மைக் காலத்தில் C, R என்ற எண் களங்களிலுள்ள யின் rih என்பதும் உண்மை ; இத்தகைய உ. பொ. <எனும் நிரைக் கிரம உறவைப் போன்ற கிரமப்படுத் கா.-யை மேலும் h=[la+m- b) என்று a, b-ஐப் தும் உறவுடைய குலம், வலயம், களம் இவை பற்றியும், பொறுத்து எழுதலாகும். மேலும் யூக்ளிடிய வலயத்தி யூக்ளிடிய வலயத்தில் வந்த g எனும் பொருத்துமுறை லுள்ள சீர் கணங்களில் A1 <A, <A.....என்று போல் வலயம் ஒன்றின் தனிமங்களுக்கு நிரைக் கிரமக் முன் வருவதற்குப் பின்னது காரணியாக உள்ள ஒரு குலத்தில் மதிப்புடைய சார்பலன் இருந்தால் அவ்வல வரிசையிருக்குமாயின் அவ்வரிசையிலுள்ள சீர்கணங் யத்தின் விசேஷ அமைப்பைப் பற்றியும் ஆராய்ச்சிகள் களின் எண்ணிக்கை அபர எண்ணாகும். இத்தகைய செய்து வருகின்றனர். இவ்வாராய்ச்சி நவீன இயற் மூன்று குணங்களும் சீர்கணங்களெல்லாம் பிரதானச் கணிதத்தில் ஒரு முக்கிய பாகமாகிக் கொண்டு வரு சீர்கணங்களாயுள்ள எந்த வலயத்திற்கும் உண்டு ; கின்றது. மேலும் இக்குணங்களைக்கொண்டு ஒவ்வொரு தனிமத்நூல்கள் : G. Birkhol, Survey of Modern Algebra ; தையும் பகாக் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையாக N, Jacobson, Lectures on Abstract Algebra, Introஎழுதலாம் என்றும் நிரூபிக்கலாம். duction to Abstract Algebra ; Van der Waerdan, அன்றி R இன் சீர்கணங்களில் பிரதானச் சீர் கணங் Modern Algebra. கள் தவிர மற்றவையும் இருக்குமாயின், முதலில் சீர் கண இயற்க ணிதம் (Set Algebra) : கணங்களினாலான I(R) எனும் கணக்குழாத்தில் A, B 1. கணங்களிடை உறவுகளும் பிணைகளும் : கணி எனும் இரு சீர்கணங்களினின்று AVB, AAB, AB தத்தின் பாகங்களிலும் தினசரி வாழ்க்கையிலும் என்று மூன்று விதமாகப் புதுச் சீர்கணங்களை நிறுவ கணங்களையும் அவற்றின் பிணைகளையும் பற்றிக் கருத லாம். A VB என்பது A, B யிலுள்ள ஒவ்வொரு தனி நேரிடுகிறது. உதாரணமாக S என்பது மனித வருக் மங்கள் a,b-ஐ எடுத்து வரும் (a+b) எனும் தனிமங் கத்தினாலாய கணமும், S., S2, S; என்பன களினாலான சீர்கணம். இது A, B எனும் இரு சீர் மனித வருக்கத்தில் ஆண் மக்களால் ஆன, தமிழர்களா கணங்களின் காரணிகளில் உத்தமப் பொதுக்காரணி லான மாணவர்களாலான உட் கணங்களும் ஆனால், என்று சொல்லலாம்; AAB என்பது A இலும் இவ்வுட்கணங்களிடை C என்ற ஓர் உறவும், 0.U B இலும் பொதுவாக உள்ள R இன் தனிமங்களாலான என்ற இரு பிணைகளும் கீழ்வருமாறு நிருணயிக்கலாம். சீர்கணம் ; இது A, Bக்களின் அதமப் பொதுமடங்கு 1. (அ.) S; CS, என்பது S1 இலுள்ள அங்கங்க எனலாம். [A<B என்பதை A ஆனது B இன் ளெல்லாம் S, இலும் அங்கங்களாகும் எனும் உறவு ; ' மடங்கு' என்றும், B ஆனது A இன் காரணி என் S. ஆனது S, இன் உட்கணம் என்னலாம். றும் எழுதலாம்], A . Bஎன்பது (a . b) என்ற A.BJ1. (ஆ) Sans: என்பது S1 S2 இரண்டிலும் லிருந்து ஒவ்வோர் தனிமங்களெடுத்துப் பெருக்கிய உள்ள அங்கங்களாலான S இன் உட்கணம் ( மேலே தொகைகளாலான சீர்கணமாகும், A- B C A A B கூறிய உதாரணத்தில் தமிழர், ஆண் மக்கள் என்ற C A VB என்பது தெரிகிறது. R எனும் வலயம் குணங்களால் நிருணயிக்கும் மனிதர்). (S OS.) I[R] இன் உட்கணமான பிரதானச் சீர்கணங்களாலான் என்றதை S1, S, இவற்றின் கணசந்தி என்போம். கணத்துடன் ஒத்துப்பார்க்க a<> [a] எனும் ஒன் 1. (இ) (S: USS) SII S; ஏதாவது ஒன்றி றொன்று பொருத்தம் உபயோகிக்கலாம். அப்பொழுது லாவது உள்ள அங்கங்கள் a. b -> [a] . [b] C[a] A [b] என்றும் தெரிகிறது. (மேலே உதாரணத்தில் ஆண்மக்களாகவோ மாணவர் களாகவோ உள்ள மனிதர்களின் கணம் ஆகும்). ஆதலால் I(R) இலும் தனிமங்களைப் பகாக் காரணிகளி (S, US;) என் றதை S1, S; இவற்றின் கணச் னின்று ( . ) அல்லது (A) எனக் குறித்த பெருக்கலால் சேர்க்கை என்போம். வரும் பெருக்குத் தொகையாகக் காட்ட முயற்சி செய் 1. (ஈ) (S; -S.) என்ப து S, இலிருந்தும் S, தல் முன் கண்ட ஆராய்ச்சிக்குத் தொடர்புடையதாகக் இல்லாததும் ஆன S இன் அங்கங்களாலான காண்கிறது. இத்தகைய காரணி காணல் வகை நொய் உட்கணம் (மேலே உதாரணத்தில் தமிழரல்லாத தர் (Noether) எனும் பிரபல ஜெர்மானிய கணித மாணவர்களாலான கணம்) S: -S: ஐ S, நீங்கியS: ஆசிரியையால் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது. R எனும் வல என்னலாம். யத்தில் A, <A, <...எனும் சீர்கணங்களில் வரிசை 1. (உ) (S,DS.)என்பது (Se-Sa)U[ss-S.) அபர எண்ணுடையதாகவே இருக்குமென்பது உண்மை என்பதற்குச் சம நிலை : ஆதலால் S2OS: என்பதன்
