________________
இயற் கணிதம் 25 இயற் கணிதம் அங்கங்கள் S., அல்லது S.: ஆகிய ஒன்றீல் பாத்திரம் 2. (ஆ) • AUB = B் என்பதும் ‘ADB=A' என் இருந்து மற்றதில் இல்லாமல் இருக்கும் S இன் பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள். அங்கங்களாகும். (உதாரணத்தில் தமிழரல்லாத 2. (இ) AUB=BUA ; (AUB) UC=AU மாணவரும், மாணவரல்லாத தமிழரும் ஆகிய இவர் (BUC) களின் கணம்) S:GS:-ஐ S., S:: இவற் பின் பரஸ்பர 2. (ஈ) ADB=BQA; (ADB) OC=An விலக்கம் எனலாம். (BOC); | (1. ஆ), (1. இ ) இல் குறித்த பிணைகளை இரண்டு 2. (உ) AUA = A ; ADA = A அல்லது முடிவெண்ணிக்கையுள்ள உட்கணத் தொகுத் 2. ( 2 ) AU {BOC) = (AUB) n (AUC) ; களுக்கு மாத்திரமன்றி முடிவற்ற கணத்தொகுதிகளுக் AN (BUC) = {ADB) U(AOC) கும் நிருணயிக்கலாம். உதாரணமாக S என்பது 1, 2. (எ) ', S என்ற கணங்கள் R இலிருக்குமாயின் 2, 3,......எனும் தன முழு எண்களாலான கணம் ' ' CA, ACS' எனும் தேற்றங்கள் S இன் அங்கம் என்றும், S. T. (n தன முழு எண்ணாயின்). n-ஐ விடச் A ஒவ்வொன்றிற்கும் உண்மை . சிறிய முழு எண்களாலானதும், n இனால் வகுபடும்2. (ஏ) (A-B), A, B, ? என்பன கணவலயத்தின் எண்களாலானதும் ஆகிய Sஇன் உட்கணங்களாயின், அங்கங்களாயின் (A-B)UB=A. (A- B) DB=? (1. ஆ) : 0a (T) என்பது எல்லா உட்கணங்கள் உண்மை . T. இ.லும் உள்ள Sஇன் அங்கங்களாலான கணம். 2. (ஐ) R கணகளமாயின் ) என்ற கணம் R இன் இது இவ்வுதாரணத்தில் சுன்னக்கணம் ஆகும். (அங் அங்கமாகும் ; மேலும் A எனும் R இன் அங்கம் ஒவ் கங்களே இல்லாத ஓர் ' சுன்னக் கணமும் ' S இன் உட் வொன்றிற்கும் AGA= என்பது உண்மை . கணமாகக் கருதப்படும்). n. (T.) உம் Tnகளின் ATB=BG A. (ADB) TC=AO (BOC), AG கண சந்தி எனப்படும். (1.இ (Un(Sn) என்பது ஏதாவது 9=A போன்ற தேற்றங்களும் கண களத்தில் நிலை ஒரு Sn இலாவது இருக்கும் S.இன் அங்கங்களாலான பெறும். கணம் ; உதாரணத்தில் இது S முழுவதும் ஆகும். 2. (ஓ) கண வலயம் S இன் உறுப்புக்களாலான (Ail U. (Sn) உம் Snகளின் 'கணச் சேர்க்கை ' எனப்படும். எனும் குழாத்தின் கணச்சேர்க்கை , U; [A;J R இல் மேலே சொன்ன உதாரணத்தில் S ஆனது. * எண் இருக்குமாயின், B எனும் R இன் எவ்வுறுப்பும் Bn ணுதலுடைய முடிவற்ற' கணம் (enumerably [U; (A)] = Ui [BOA;) என்ற விதிக்கு உட் infinite set). இதைத் தவிர எண்ணுதலீலா மு:) படும். இதே போல் 0 [A) உம் Rஇ லிருந்தால் வற்ற கணத்தின் எண்ணுதலிலா முடிவற்ற உட்கணக் BU M: (A;) ) = 0 (BUA,) என்பதும் குழாங்களினூடேயும்,,). U எனும் பிணகளை மேலே உண்மை . சொல்லிய வகையில் வரையறுக்கலாம். அடுத்ததாக மேலே சொன்ன விதிகளிற் சிலவற்றிற் 1. (ஊ) S எனும் கணம் ஒன் பின் உட்கணங் குட்பட்ட பிணைகளை உடைய கணங்களின் அமைப் கள் (A, B...) சிலவற்றால் ஆன R எனும் கணக் பைப் பற்றி ஒரு சில கூறுவோம். குழாம் ஒன்றைக் கரு.து வோம். Rஇலிருந்து எடுத்த 2. (ஓ) -. எனும் ஒரு கணத்தின் இவ்விரு அங்கங் எந்த இரு கணங்கள் A, Bக்கும் (A UB), (ADB) கள் (A.B) ஐப் பிணைக்கும் U.) எனும் இருபிணை எனும் கணங்களும் R இல் இருந்தால் R என்பது ஒரு கள் (2 ஆ) முதல் (2. உ) வரை உள்ள விதிகளுக்குட் கணவலயம் எனப்படும். கணவலயம் Rஇல் மேலும் பட்டுக் கொடுக்கப்படின் L - U,0 ஆனவற்றை 'சட் எண்ணுதலுடைய முடிவற்ற AL. A....An-..என்ற டகத் தொகை', ' சட்டகப் பெருக்கல்' ஆக உடைய எந்த R இன் உறுப்புக்களாலான கணத்திற்கும் ஒரு சட்டகம் என்று கூறுவோம். U. (An) உம் R இல் இருக்குமானால் On (An) உம் (2. அ) ஐக் கொண்டு இதனில் ஒரு குறைக்கிரம Rஇல் இருக்குமானால் R-ஐ ஒரு ரகண வலயம் (R-ஐ உறவு ' C' என்பதை நிறுவினால், (AUB) ஆனது ஒரு கண வலயம்) என்பார்கள். இதே மாதிரி எண்ணுத A.B இவற்றைவிடப் பெரிய - இன் அங்கங்களுள் லிலா அளவற்ற R இன் அங்கங்களாலான கணம் ஒவ் மிகச் சிறியது என்றும், (ADB) ஆனது A. B வொன் றின் சேர்க்கையும் (அல்லது சந்தியும்) Rஇல் இவற்றைவிடச் சிறிய அங்கங்களுள் மிகப் பெரியது இருக்குமாயின் R-ஐ ஒரு - கணவலயம் (ஒரு 4 கண என்றும் காணலாம். இப்படிப்பட்ட அங்கங்களை வலயம்) என்பர். பிறகு (சCTA 5, 24 கண யுடைய குறைக் கிரம கணமா கவும் சட்டகத்தைத் வலயங்கள் என்பனவற்றை இக்குணங்களின் சேர்க்கை தீர்மானிக்கலாம். (ACB என்பதற்கு A ஆனது B-ஐ யால் நிறுவுதல் வழக்கம். விடச் சிறியது என்றும், B ஆனது A-ஐ விடப் பெரி கண வலயம் R ஒன்றில் A, B என்ற உறுப்புக்க யது என்றும் கூறுகிறோம்). ளுடன் AC Bஉம் (எந்த இரு உறுப்புக்களுக்கும்) 2. (ஔ.) சட்டகத்தின் பிணைகள் (2. a) இல் இருக்குமாயின் R-ஐ ஒரு கணகளம் என்போம். முன் கொடுக்கப்பட்ட ' பங்கீடு' விதிகளுக்குட்பட்டிருக் போலவே ஏ-, 6-2-, 1-,... கணகளங்களை வரை தால் அச்சட்டத்தைப் 'பங்கீட்டுச் சட்டகம்' யறுக்கலாம். (Distributive 1.) என்போம். 2. கண வலயங்களும் சட்டகங்களும் (Set rings 2. (க) பங்கீட்டுச் சட்டகம் - இல்' எனும் மிகச் and lattices). கணவலயங்களின் இயற்கணித சிறிய அங்கமும், A, B எனும் எந்த இரு அங்கங்க அமைப்பை நிருணயிக்க மேலே கூறிய C, U,0... ளுடனும் (A-B) UB=A, (A-B) DB=p எனும் முதலிய உறவு, பிணைகளைப் பொருத்துக் கணவலயங் விதிகளிற்குட்பட்ட (A-B) எனும் (குறியால் குறிக்கப் களின் சில குணாதிசயங்களை முதலில் காணுவோம். பட்ட) ஓர் அங்கமும் இருக்குமாயின் - 'ஐ ஒரு ‘ பூலிய (கீழ்வரும் தேற்றங்களை R எனும் கணவலயத்தின் வலயம்' (Boolean ring) என்போம். இப்போது அங்கங்கள் A, B, C...முதலியவற் றீடை நிரூபித்தல் AGB=[A-B) U(B.-A )என்று கொண்டால் L அரிதன்று ). I ஆனது (6, 0) ஆகிய பிணைகளைப் பொறுத்தவரை 2. (அ) ' ACB' என்பதும் ' AUB=B' என் ஒரு வலயமாகும் ; இவ்வலயத்தில் AO A= ; உம் பதும் சமநிலைத் தேற்றங்கள். AnA = A உம் சிறப்பு விதிகளாகும்.
